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Klassische Mechanik

WS  02/03         C. Wetterich

Übersicht

0)  Einführung

I  Newtonsche Mechanik

1)  Die Newtonschen Gesetze
		a)  Kinetik, Beschreibung durch Massenpunkte 
		b)  Kraft
(i)Kraftgesetze
(ii)Differentialgleichungen für einfache Kraftgesetze
		c)  Wichtige Kräfte
(i)unabhängige Kräfte
(ii)Zweikörperproblem
(iii)Gravitationskraft zwischen zwei Körpern
(iv)Invarianzen
(v)Gravitationelles N-Körper System
(vi)Gravitationsfeld
(vii)Elektromagnetische Kräfte

2)  Bewegung eines Massenpunktes
		a)  Kraftfeld
		b)  Eindimensionales Problem und allgemeine Lösung
		c)  Periodisches Potenzial
(i)beschränkte und unbeschränkte Bewegung
(ii)Stabilität gegen kleine Änderung der Anfangsbedingungen
(iii)Phasenportrait, Separatrix

3)  Energiesatz
		a)  Konservatives Kraftfeld, Potenzial und Energieerhaltung
		b)  Stabile und instabile Bahnen
		c)  Equivalente Bedingungen für konservatives Kraftfeld
		d)  Eigenschaften von Wegintegralen
		e)  Teilchenbeschleuniger

4)  Systeme von Massenpunkten in Wechselwirkung
		a)  Konfigurationsraum
		b)  konservative äußere Kräfte und zentrale innere Paarkräfte

5)  Erhaltungssätze (Impuls, Drehimpuls)
		a)  Impuls
(i)Erhaltung des Gesamtimpulses
(ii)Schwerpunkt- und Relativbewegung
(iii)Wie gut ist Beschreibung durch Massenpunkt  für ausgedehntes System? Rückwirkung der inneren Dynamik auf Schwerpunktsbewegung
(iv)Taylor-Entwicklung für schwach inhomogene Potenziale
(v)Gezeitenkräfte
		b)  Drehimpuls
(i)Drehmoment
(ii)Drehimpulserhaltung für Zentralkräfte

6)  Zweikörperproblem
		a)  Reduktion auf Punktteilchen in Kraftfeld, Energie- und Drehimpulserhaltung
		b)  Flächensatz
		c)  Bewegungsgleichung in Polarkoordinaten
		d)  Effektives Potenzial und Zentrifugalbarriere
		e)  Bahnkurve
		f)  Planetenbahnen, Keplerproblem
		g)  Ungebundene Bewegung, Streuung

7)  Virialsatz
		a)  Zeitliche Mittelwerte von kinetischer und potenzieller Energie 
		b)  Homogene Potenziale

II  Lagrange Formalismus

8)  Die Lagrange Methode erster und zweiter Art (Zwangsbedingungen)
		a) Problemstellung mit Zwangskräften
i)Lösungsstrategien
ii)Sphärisches Pendel
iii)Tangentialraum und virtuelle Verrückungen
iv)Gleichgewichtsbedingung für einen Massenpunkt 
		b) Lagrange-Methode erster Art
i)holonome Zwangsbedingungen
ii)Richtung der Zwangskräfte 
iii)Virtuelle Verrückungen
iv)d'Alembert'sches Prinzip
v)Zwangskräfte
vi)Statik
vii)Energieerhaltung für holonom-skleronome Zwangsbedingungen
		c) Lagrange-Methode zweiter Art
i)Euler-Lagrange Gleichungen
ii)Ebenes Schienenpendel

9)  Invarianz und Erhaltungssätze
		a) Euler-Lagrange-Gleichungen als grundlegende Formulierung der 
		     klassischen Mechanik
		b) Symmetrie-Transformationen
i)Invarianz der Lagrange-Funktion unter Symmetrie-Transformationen
ii)Symmetriegruppen
		c) Das Noether'sche Theorem
i)kontinuierliche Symmetrien und erhaltene Größen
ii)Translations- und Rotations-Symmetrie
		d) Energieerhaltung
i)Erhaltung der Hamilton-Funktion
ii)Bedeutung der Hamilton-Funktion

10)  Das Prinzip der stationären Wirkung
		a) Das Hamilton'sche Prinzip (1)
		b) Praktische Definition der Wirkung
		c) Funktionale
		d) Variierte Bahnen
		e) Das Hamilton'sche Prinzip (2)
		f) Beispiel: der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten
		g) Funktionalableitung
		h) Wirkungsprinzip als grundlegende Formulierung der Physik

11)  Die Hamilton-Funktion
		a) Kanonische Bewegungsgleichungen
		b) Phasenraum
		c) Zyklische Koordinaten

III  Mechanik für Vielteilchensysteme

12)  Starrer Körper
		a) Zwangsbedingungen und Freiheitsgrade
		b) Eulersche Kreiselgleichungen
		c) Kinematik des starren Körpers, Eulersche Winkel
i)Lage des starren Körpers
ii)Drehmatrix
iii)aktive und passive Drehung
iv)Eulersche Winkel
v)Momentane Winkelgeschwindigkeit
		d) Kinetische Energie, Trägheitstensor
		e) Drehimpuls
		f) Bezugssysteme
			i)Körperfestes Bezugssystem
			ii)Trägheitstensor im körperfesten Bezugssystem
			iii)Kreiselgleichung im körperfesten System
			iv)Spezialfall: diagonaler Trägheitstensor
			v)Skalare Erhaltungsgrößen
		g) Hauptachsen des Trägheitstensors
		h) Freier symmetrischer Kreisel
i)Kreisel mit Zwangsbedingungen
			i)Lagrange Funktion
			ii)Beispiel: Symmetrischer Kreisel mit fest gelagerter Spitze

13)  Kleine Schwingungen
		a) Linearisierung
		b) Eigenschwingungen und Eigenfrequenzen
			i)Diagonales System
			ii)Diagonalisierung einer symmetrischen Matrix
			iii)Diagonalisierung der Lagrange-Funktion in drei Schritten
			iv)Allgemeine Lösung
			v)Superpositionsprinzip
		c) Bestimmung der Eigenfrequenzen, Säkulargleichung
			i)Komplexe Exponentialschreibweise
			ii)Säkulargleichung
		d) Gekoppelte Pendel

14)  Lineare Differentialgleichungen
		a) Homogene lineare Differentialgleichungen
			i)Gedämpfte Schwingung
			ii)Superpositionsprinzip
			iii)Lineares Gleichungssystem
		b) Inhomogene lineare Differentialgleichungen
		c) Harmonische äußere Kräfte
			i)Spezielle Lösung
			ii)Phase
			iii)Resonanz
			iv)Gekoppelte lineare Systeme
		d) Beliebige zeitabhängige äußere Kräfte
			i)Überlagerung periodischer Kräfte
			ii)Beliebige Kräfte
			iii)Fourier Transformation

15)  Kontinuumsmechanik und Statistische Mechanik (Ausblick)
		a) Dichtefeld, Geschwindigkeitsfeld
		b) Kontinuitätsgleichung
		c) Ideale Flüssigkeit
		d) Schallwellen
		e) Statistische Mechanik (Ausblick)

IV Bewegte Bezugsysteme

16)  Bewegung in einem Nicht-Inertialsystem
		a) Beschleunigtes Bezugssystem 
		b) Scheinkräfte
		c) Beispiel: Erde als beschleunigtes Bezugssystem 
		d) Das Foucault'sche Pendel

17)  Relativistische Mechanik
		a) Lorentz-Symmetrie
		b) Vierer-Vektoren, Lorentz-Transformationen
		c) Eigenzeit
		d) Relativistische Mechanik, Wirkung 
		e) Impuls und Energie 
i)Impuls
ii)Energie 
iii)Energie-Impuls Beziehung für freie Teilchen 
		f) Teilchenzerfall
		g) Impuls Vierervektor, Vierergeschwindigkeit
		h) Kovariante und Kontravariante Vektoren
i)Invariante Masse
		j) Abstand zwischen zwei Ereignissen
		k) Wechselwirkungen

V Determinismus und Chaos

18)  Determinismus der klassischen Mechanik?
		a) Vektorfelder als dynamische Systeme
		b) Kriterien für Determinismus
		c) Liapunov Exponenten