University of Heidelberg

Tilman Enss | Teaching — Seminar Solitonen

as of 09 Apr 2018


Seminar Solitonen (PSem)

Sommersemester 2018


Viele Wellenphänomene lassen sich physikalisch durch nichtlineare Differentialgleichungen beschreiben. Einige dieser Differentialgleichungen haben Solitonenlösungen, das sind besondere Wellenpakete, die ihre Form nicht verändern und die sich über große Strecken ausbreiten können. Dieses Seminar für mathematisch Interessierte stellt drei wichtige Typen von nichtlinearen Differentialgleichungen mit exakten Solitonenlösungen vor und gibt einen Ausblick auf Anwendungen (Tsunamis, Pulse in Lichtwellenleitern).

Betreuer: Priv.-Doz. Dr. Tilman Enss
Termin: Freitag 09.15-11.00h, Seminarraum Philosophenweg 16 (Eingang links um das Gebäude durch das Sekretariat) [LSF]
Erster Termin: Freitag 20. April, Einführung

Seminarthemen

  1. 04.05.2018: Sine-Gordon-Gleichung
    Herleitung der SG-Gleichung, Motivation durch Gummibandmodell, lineare Lösung und Dispersionsrelation, nichtlineare Solitonenlösungen (kink, antikink, breathers)
    Meinel 72-75, Eilenberger 100-112, Vorlesung 1.1-1.2
  2. Korteweg-deVries-Gleichung I: Lösungen
    Die KdV-Gleichung beschreibt Wellen in seichtem Wasser. Thema des ersten Teils sind die Lösung der linearisierten Gleichungen und die exakten Solitonenlösungen.
    Eilenberger 21-26, Vorlesung 1.3
  3. Korteweg-deVries-Gleichung II: Anwendungen
    Motivation der KdV-Gleichung aus der Hydrodynamik und Lösungen für Wasserwellen am Beispiel von Tsunamis und solitärer Wellen im Kanal.
    Eilenberger 12-13, Vorlesung 6.1
  4. Nichtlineare Schrödingergleichung
    Motivation der NLS-Gleichung für Bose-Einstein-Kondensate und nichtlineare Optik, Solitonenlösungen (dark and bright solitons), Anwendung in der Telekommunikation.
    Pethick/Smith Kapitel 7.6 (215-223), Meinel 97-105
  5. Nichtlineare Differentialgleichung und lineares Problem
    Eine elegante Lösungsmethode für nichtlineare DGL besteht darin, sie auf ein lineares Problem abzubilden, das sich viel leichter lösen lässt (inverse Streumethode). Im ersten Teil lernen wir das lineare Problem kennen, aus dem sich die Lösungen der drei Typen nichtlinearer Differentialgleichugen (SG, KdV, NLS) erzeugen lassen.
    Meinel 33-39, Vorlesung 1.4, 2.1
  6. Bäcklund-Transformation
    Die Bäcklund-Transformation erzeugt mit Hilfe des linearen Problems aus einer Lösung mit wenigen Solitonen neue exakte Lösungen mit vielen Solitonen.
    Vorlesung 3.1.1, 3.1.3; Meinel 72-78
  7. Erhaltungssätze
    Erhaltungssätze in der klassischen Mechanik und speziell in der KdV-Gleichung; die KdV-Gleichung als Hamiltonsches System mit unendlichen vielen Erhaltungssätzen.
    Vorlesung 4.1-4.2, Eilenberger 18-21, Meinel 51-56
  8. Solitonen in zellulären Automaten
    Wenn man die KdV-Gleichung in Raum und Zeit diskretisiert, bekommt man einen zellulären Automaten (Nullen und Einsen auf einem Band). Die Zustände dieses zellulären Automaten entsprechen wiederum Solitonen, die sich ausbreiten und aneinander streuen.
    Tokihiro

Literatur

Die Literatur wird für Seminarteilnehmer zur Verfügung gestellt.

  • Meinel, Neugebauer und Steudel, Solitonen — Nichtlineare Strukturen, Akademie-Verlag 1991 (deutsch)
  • Meinel, Vorlesungsskript Solitonen, Universität Jena (deutsch)
  • Eilenberger, Solitons, Springer-Verlag 1981 (englisch)
  • Pethick and Smith, Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases, Cambridge University Press 2008 (englisch)
  • Tokihiro et al., From Soliton Equations to Integrable Cellular Automata through a Limiting Procedure, Physical Review Letters 76, 3247 (1996) (englisch).

Voraussetzungen

  • Theoretische Mechanik

Ablauf

  • Vorträge an der Tafel (evtl. mit Folien zur Veranschaulichung) max. 60 Minuten, danach Diskussion.
  • Für das Bachelor-Pflichtseminar gibt es 2 credit points und eine Note für den Seminarvortrag.
  • Die Teilnahme an allen Vorträgen ist verpflichtend.
  • Es hat sich bewährt, die Vorträge vor dem Seminartermin zusammen durchzugehen, z.B. am Montag vor dem Seminar.
  • Bei Interesse an einem Seminarvortrag bitte per email anmelden.




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