Ya en nuestro modelo, la serie geométrica, vimos que la validez de la
expansión en serie está restringida al intervalo
, alrededor del origen.
También, para las
otras series de Taylor, aún si la función es infinitamente diferenciable en
un intervalo cerrado (es decir, incluyendo los puntos en la frontera), la
convergencia está generalmente limitada al interior de un intervalo,
simétrico alrededor del origen:
.
El número R se denomina "Radio de convergencia", donde
la palabra "radio" se comprenderá recién en la teoría de funciones, esto es,
con series de potencias de números complejos. Dentro de este intervalo de
convergencia simétrico, limitado por R, convergen todas las series de Taylor
en forma
absoluta.
Fuera, esto es para
,
éstas son divergentes. La convergencia en ambos extremos del intervalo se
debe investigar caso a caso en forma precisa.
Los matemáticos nos
proveen (por medio de la comparación de, por ejemplo, la serie geométrica)
con métodos para determinar el radio de convergencia. Aquí deseamos exponer
sólo una de las condiciones suficientes para convergencia absoluta de
una serie
,
esto es, el criterio del cociente de D'Alembert, según el cual el radio de
convergencia se puede escribir como sigue:
Encontramos por ejemplo, para la serie binomial genera:
Sin embargo, para las funciones seno trigonométrico e hiperbólico :
así como para la función exponencial:
es decir, el intervalo de convergencia es todo el eje real.
?
y 
