После первого успеха, давайте перейдем к более общему уравнению
и найдем его решение
. Мы называем помноженное на мнимую единицу
вещественное число
где
Если мы рассмотрим еще более общее уравнение, а именно
, то в качестве решения получим
, т.е. линейную комбинацию вещественного и мнимого чисел. И назовем это
с
Комплексное число, таким образом, является упорядоченной парой вещественных чисел: первая часть называется
а снабженная сомножителем
вторая часть называется
Такое разделение на действительную и мнимую части является однозначным (в отличии от
рациональных чисел, которые мы также ранее ввели в качестве "упорядоченных пар" целых чисел, дя которых мы даже идентифицировали целые классы эквивалентности:
т.к. "сокращение" должно быть возможным без изменения числа:
)
Равенство
двух комплексных чисел
и
означает равенство обеих частей - действительной и мнимой:
и
, это значит,
содержит два вещественных уравнения
и
.
В частности, комплексное число равно нулю исчезает только тогда, когда обе части, действительная и мнимая, равны нулю:
и
.
Вещественные числа
являются подмножеством множества комплексный чисел:
, а именно, таким, для всех членов которого
. К этим числам, в качестве новых элементов множества комплексных чисел, добавляются мнимые числа
.
Прежде чем мы обратимся к правилам вычисления, давайте сделаем краткий обзор методик, при помощи которых мы смогли бы визуализировать комплексные числа: