Folge gegen math formula:

Neben dieser Exponential-Reihe, die wir zur Definition von math formula verwendet haben, gibt es wie anfangs erwähnt noch eine Folge, die gegen die Zahl math formula konvergiert, die Exponential-Folge (F10): math formula,..., der wir uns zum Vergleich noch kurz zuwenden wollen:

Nach der binomischen Formel erhalten wir zunächst für das allgemeine Glied:

math formula


Einerseits vergrößern wir nun diesen Ausdruck für math formula, indem wir in den Klammern keine Vielfachen von math formula mehr abziehen:

math formula


und erhalten so bis auf die Eins die entsprechende Teilsumme der Exponential-Reihe math formula. Damit ist die Exponential-Reihe eine Majorante für die ebenfalls monoton steigende Exponential-Folge und deren Konvergenz durch die der Reihe gesichert: Für den Grenzwert erhalten wir:

math formula


Andererseits verkleinern wir den obigen Ausdruck für math formula, indem wir von den durchweg positiven Summanden nur math formula Stück mitnehmen und die letzten weglassen:

math formula


Wenn wir jetzt zunächst die größere der natürlichen Zahlen, math formula, über alle Grenzen wachsen lassen, erhalten wir:

math formula


und nachdem auch die kleinere natürliche Zahl: math formula über alle Grenzen gewachsen ist:

math formula


Folglich muß der Grenzwert math formula der Exponential-Folge math formula gleich der durch die Exponential-Reihe definierten Zahl math formula sein:

math formula


Wenn Sie sich allerdings die Glieder der Folge ausrechnen und mit den Teilsummen der Reihe ergleichen, werden Sie feststellen, dass die Folge viel langsamer konvergiert als die Reihe.

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