Neben der Substitution und der partiellen Integration mit breitem Anwendungsfeld gibt es noch eine ganze Menge weiterer Integrationstricks meist für eine eng begrenzte Gruppe von Integralen. Stellvertretend für alle diese wollen wir uns den Hermite-Ansatz etwas genauer ansehen, der Integrale vom Typ
mit einem Polynom
m-ten Grades über einer Wurzel
eines quadratischen Ausdrucks auf solche mit dem Polynom 1 zurückführt, weil Integranden dieser Art besonders häufig in der Physik vorkommen. Hermite schlug folgenden Ansatz vor:
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Hermite-Ansatz:
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mit
mit einem Polynom
-ten Grades
und einer reellen Zahl
. Die dazu benötigten
Zahlen
mit
erhält man durch Koeffizientenvergleich folgender beiden Polynome m-ten Grades:
Denn die Differentiation des Ansatzes ergibt
und anschließende Multiplikation mit
die obige Bestimmungsgleichung für die
Koeffizienten
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Aufgabe 7.12: Zeigen Sie, dass der Koeffizientenvergleich a) für
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und
auf
,
und
führt, also
ergibt und
und
auf
,
und
führt mit
als Lösung.Die verbleibenden Integrale vom Typ
lösen wir durch den vielen von Ihnen aus der Schule bekannten Trick der quadratischen Ergänzung, d.h. Addition und Subtraktion des gleichen (hier fett gedruckten) Terms: falls etwa
mit der Diskriminanten
.
Schließlich bringt uns die Substitution
zu
und dann falls
weiter die Substitution
mit
zu
was wir in Zeile 20 unserer TABELLE finden
wie wir früher in Aufgabe 4.13 gezeigt haben. Also insgesamt mit immer anderen Konstanten
:
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Aufgabe 7.13: Lösen Sie das Integral
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für den Fall
und
. Alle im Laufe der Jahrzehnte mit den verschiedenen Formeln und Tricks gelösten Integrale sind in Integraltafeln gesammelt, von denen wir hier einige aufführen: Wir beginnen unsere Auswahl mit den kleineren erschwinglichen Büchern für den täglichen Gebrauch jedes Physikstudenten und gehen dann bis zu den großen umfassenden Tafelwerken, die in den Bibliotheken zum Nachschlagen bereitgehalten werden:
2) I.N.BRONSTEIN + K.A.SEMENDJAJEW: Taschenbuch der Mathematik, H.Deutsch,
3) W.GRÖBNER + N.HOFREITER: Integraltafel I + II, Springer,
4) M.ABRAMOWITZ + I.A.STEGUN: Handbook of Mathematical Functions, Wiley,
5) I.S.GRADSHTEYN + I.M.RYZHIK: Tables of Integrals, Series and Products, Academic,
6) A.P.PRUDNIKOV + Yu.A.BRYCHKOV + O.I.MARICHEV: Integrals and Series I + II, Gordon + Breach.
Die Informationen dieser Tafeln sind heute schon in Programme wie MATHEMATICA oder MAPLE eingearbeitet worden. Diese finden die Stammfunktionen, falls sie existieren, auch in schwierigen Fällen. Man sollte sich nicht scheuen, bei der täglichen Arbeit auf diese Tafelwerke oder Programme zurückzugreifen. Allerdings setzt ihre Benutzung im allgemeinen die Kenntnis der verschiedenen Integrations-Techniken und Tricks voraus, weil sonst die angegebenen Bemerkungen und Beschränkungen der Gültigkeitsbereiche häufig nicht angemessen und fehlerfrei berücksichtigt werden können. Deshalb haben wir uns hier mit diesen Problemen beschäftigt.