Zahlenkugel

Schließlich erwähnen wir noch eine Alternative zur Darstellung der komplexe Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene: die Riemannsche Zahlenkugel:

Dazu denken wir uns eine Kugel vom Durchmesser 1 mit ihrem "Südpol" im Ursprung auf die Gaußsche Ebene gelegt und alle Punkte der Ebene durch Geraden mit dem Nordpol der Kugel verbunden, wie in der folgenden Abbildung skizziert:

Bild 8.3: der Riemannschen Zahlenkugel auf der Gaußschen Zahlenebene

Jedem Punkt der Ebene wird durch diese von den Mathematikern "stereographisch" genannte Projektion eindeutig ein Punkt auf der Kugeloberfläche zugeordnet, der als alternative Darstellung der entsprechenden komplexen Zahl dienen kann: Man sieht unmittelbar, dass der Ursprung in den "Südpol", das Innere des Einheitskreises auf die "südliche Halbkugel", der Einheitskreis auf den "Äquator" und das Äußere des Einheitskreises auf die "nördliche Halbkugel" abgebildet werden. Das Interessante an dieser Darstellung ist jedoch der "Nordpol", der sich als stetiges Bild aller unendlich fernen Punkte der Ebene ergibt. Damit wird zum Ausdruck gebracht, dass vom Standpunkt der komplexen Zahlen nur eine "Zahl" existiert und in deren Umgebung genauso argumentiert werden kann, wie für jede andere komplexe Zahl. Immer wenn derartige Überlegungen eine Rolle spielen, werden Sie später auf diese Art der Darstellung zurückkommen und die Umgebung des Punktes auf der Riemann-Kugel betrachten. Wir werden sie in diesem Kurs nicht weiter benützen.

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