Bachelor-Seminar Klassische Elektrodynamik

Dozent: A. Hebecker , Ort: Philosophenweg 19, Seminarraum

Bei Bedarf wird es zwei parallele Kurse mit prinzipiell gleichem Inhalt geben.

Zeit für Kurs 1: Fr, 9:15--10:45.    Zeit für Kurs 2: Fr, 14:15--15:45.

Erster Veranstaltungstermin: 19. April


Plan:

In Ergänzung zur Vorlesung sollen fortgeschrittenere oder aus Zeitgründen nicht besprochene Themen aus der Elektrodynamik behandelt werden. Neben dem Thema Wellen soll vor allem die in der Vorlesung nur angerissene elegante Formulierung durch Differentialformen vertieft werden. Sie erlaubt eine natürliche Verallgemeinerungen auf sogenannte p-Form-Eichtheorien in beliebigen Raum-Zeit-Dimensionen. Weitere vertiefende Themen sollen insbesondere die physikalische Bedeutung von Gruppentheorie und Geometrie betonen. Dazu gehören die Beschreibung durch Faserbündel, der Dirac-Monopol und der Aharonov-Bohm-Effekt.


Modus:

Die Teilnehmer bereiten selbständig Vorträge zu den einzelnen Themen (siehe unten) vor und halten diesen an der Tafel. Konsultationen mit dem Dozenten werden angeboten. Eine detaillierte schriftliche Ausarbeitung wird nicht gefordert, aber gut lesbare handgeschriebene Notizen sollen kopiert und an die Teilnehmer verteilt werden. Die reine Vortragszeit beträgt zwischen 45 und 60 min. Der Rest der Zeit wird für Fragen und Diskussion benötigt. Neben dem Vortrag sind Teilnahme an allen anderen (außer im Krankheitsfall) Seminaren, insbesondere auch an der Diskussion, Voraussetzung für die Scheinvergabe.


Themen:

(1) Vertiefung zur Brechung und Reflexion: Brewster-Winkel, Totalreflexion mit exponentieller Dämpfung, Polarisationseffekte

Termin: 19.04.,   Sprecher*innen: Abele/Zhao

Literatur:   Jack, Kapitel 7;   (und enstprechende Kapitel vieler anderer Bücher, z.B.   PSw, 10.1 bis 10.3;   Nol, 4.3.10)

Weitere Hinweise:   Sie koennten z.B. damit beginnen, den Hoerer zu Beginn des Vortrags an die notwendigen Fakten zur E, D, B und H-Feldern und der entsprechenden Wellengleichung in Medien zu erinnern. Dabei koennten Sie die Vorlesung um den fast gar nicht diskutierten Fall der parallelen Polarisation ergaenzen. Dann schliessen sich natuerlicherweise die Diskussion von Brewster-Winkel und Totalreflexion an. Versuchen Sie, neben den Kernpunkten der Herleitung auch physikalische Intuition zu vermitteln. Bei der Totalreflexion ist besonders das exponentiell gedaempfte Eindringen in das zweite Medium interessant. Wenn Zeit bleibt, kann man vielleicht noch etwas zu Polarisationseffekten und deren Anwendung sagen. Sie koennen vermutlich nicht alles technisch durchrechnen. Kuerzen Sie, so dass der Hoerer die Hauptideen immer noch verstehen kann.

Fuer diesen und alle anderen Vortraege gilt: Sie muessen den obigen Hinweisen nicht folgen. Diese sind nur als Anregung oder Hilfestellung gemeint.

(2) Hohlleiter und Resonatoren

Termin: 26.04.,   Sprecher*innen: Droutsas/Vahar

Literatur:   Jack, Kapitel 8 (insbes. 8.2 bis 8.4);   ( und enstprechende Kapitel vieler anderer Bücher, z.B.   PSw, 10.5;   Reb, 7.7 )

Weitere Hinweise:   Eine Moeglichkeit waere, sich auf die Kapitel 8.2 bis 8.4 aus Jack zu konzentrieren, wobei jedoch einiges aus 8.1 gesagt werden sollte, um die gemachten Naeherungen zu verstehen. Je nach Zeitbudget, sollte der Resonator (Jack, 8.7) sowie der Begriff des Q-Faktors (Guetefaktor, Jack 8.8) besprochen oder zumindest erwaehnt werden. Gutes Verstaendnis der wichtigsten Rechnungen aus 8.2-8.4 geht allerdings vor.

(3) Strahlung bewegter Ladungen

Termin: 03.05.,   Sprecher*innen: Kommer/Bueno

Literatur:   Jack (sehr ausfuehrliche Behandlung ueber viele Kapitel);   enstprechende kuerzere Darstellung in vielen anderen Bücher, z.B.   Lech, Kap. 7 und 8;   ME, Kap. 12;   besonders zu empfehlen sind die beiden Skripte von Anastasiou und von Bartelmann, die auf der Webseite meiner E-Dynamik-Vorlesung von 2022/23 zitiert sind.

Weitere Hinweise:   Hauptziel soll es sein, das in der Vorlesung nur kurz am Beispiel des Dipols besprochene Thema der Abstrahlung von EM-Wellen durch bewegte Punktladungen zu vertiefen. Rein technisch ist die Hauptarbeit in der Vorlesung schon getan worden: Die Analyse der Dipolstrahlung uebertraegt sich ohne Weiteres auf die einzelne, beschleunigt bewegte Ladung. Etwas Arbeit muss man noch fuer den Uebergang zur relativistisch bewegten Ladung tun. Es sollten darueber hinaus vor allem die wichtigen Begriffe der Larmor-Formel, der Synchrotron-Strahlung sowie der Strahlung der linear beschleuingten Ladung, der Thomson- und Rayleigh-Streuung diskutiert und, soweit zeitlich moeglich, mit Formeln und Herleitungen unterlegt werden. Eine effiziente Moeglichkeit besteht vielleicht darin, die Lecture-Notes von Anastasiou als Hauptquelle zu benutzen und nur bei Bedarf die andere Literatur heranzuziehen.

(4) Die Begriffe von Lie-Algebra und Lie-Gruppe, mit Fokus auf Poincare-Gruppe als Beispiel

Termin: 10.05.,   Sprecher*innen: Konrad/Toemoesy

Literatur:   Sred, Teil 1, Kapitel 2;   Nak, Kapitel 5.6;   Verschiedenste Bücher und Lecture-Notes zu Lie-Algebren und -Gruppen;   Ganz elementar: TM1, Kapitel 5 und 6, speziell 6.4;   Ganz elementar: TM2, Kapitel 7;   Siehe auch: DM, Wipf, Laine

Weitere Hinweise:   Man koennte starten mit einer Erinnerung an Matrix-Gruppen, deren Lie-Algebren, sowie die Beziehung zwischen diesen durch die Exponential-Funktion. Ein gutes Beispiel zur Illustration sind die Gruppen SO(N), welche man als Tranformation des RN definieren kann, welche die Euklidische Metrik invariant lassen. Aendert man nun ein Vorzeichen der Metrik-Eigenwerte, so hat man damit bereits den Raum R1,N-1 und als entsprechende Symmetrie-Gruppe die Lorentz-Gruppe (sowie die zugehoerige Symmetrie-Algebra). Nun muss man nur noch die Translationen hinzunehmen und hat damit die Poincare-Gruppe und Lie-Algebra. Achtung - in diesem letzten Schritt verlaesst man natuerlich die Domaene der Matrix-Gruppen und Lie-Algebren. Trotzdem kann man die Kommutatorrelationen der Poincare-Lie-Algebra noch einigermassen kompakt hinschreiben (siehe z.B. Sred). Entscheidend fuer die spaetere Anwendung sind jedoch vor allem die explizite Realisierung von Lorentz-Transormationen durch Matrizen (welche die Lorentz-Metrik invariant lassen) sowie ihre kovariant dargestellte Wirkung auf Vektoren, Kovektoren und Tensoren. Das zentrale Ziel des Vortrages soll es sein, das in der Vorlesung nur angerissene Thema "Lie-Gruppen und Algebren", auch mit Hilfe vieler Beispiele, in seiner mathematischen Geschlossenheit und vielseitigen Anwendbarkeit darzustellen. Es geht also darum, moeglichst tief zu verstehen, was es bedeutet, wenn man sagt, dass xμ in Λμνxν uebergeht.

(5) Darstellungen von Lie-Algebren und Lie-Gruppen, wiederum mit Fokus auf die Poincare-Gruppe und die lorentz-kovariante Formulierung der Elektrodynamik

Termin: 17.05.,   Sprecher*innen: Hock/Heck

Literatur: DM; Wipf; Laine und EINE SEHR GROSSE Menge aehnlicher Skripte und Buecher;   Siehe auch die Literatur zu Vortrag (4);   Das Internet und die Bibliotheken quellen foermlich ueber von Material zum Thema 'Lie-Gruppen, Lie-Algebren und deren Darstellungen in der Physik'.

Weitere Hinweise:   Gruppen sind in der Physik vor allem deshalb wichtig, weil sie das Konzept von Symmetrie-Transformationen mathematisch realisieren. Dazu ist entscheidend, dass man zunaechst versteht, was es heisst, wenn eine Gruppe auf einer Menge wirkt ('group action'). Oft ist die Menge, auf der die Gruppe wirkt, ein Vektorraum und die Wirkung respektiert dessen lineare Struktur. Damit sind wir bei Darstellungen ('representations'). Wichtige Konzepte dabei sind reduzible und irreduzible Darstellungen, das Ausreduzieren von Darstellungen, Tensorprodukte von Darstellungen und deren Ausreduktion. Ein bedeutendes Resultat in diesem Zusammenhang ist Schurs Lemma. Sehr nuetzlich ist auch der Begriff der 'Einschraenkung einer Darstellung auf eine Untergruppe' ('restriction') und die damit einhergehenden sogenannten 'branching rules'. All diese Ideen haben eine Vielzahl von zum Teil sehr einfachen und naheliegenden physikalischen Anwendungen (in Mechanik, E-Dynamik und Quantenmechanik). Dementsprechend soll alles mit moeglichst vielen Beispielen unterlegt werden.

Es ist auch sehr wichtig, dass man (fast immer) von der Darstellung der Gruppe zur entsprechenden Darstellung der Lie-Algebra (dieser Begriff ist zu definieren!) uebergehen kann und umgekehrt.

Unsere Hauptanwendung der obigen Konzepte (die leider in der Vorlesung viel zu kurz gekommen sind) sind die Tensor-Produkt-Darstellungen, deren Ausreduktion, und der Uebergang von der SO(1,3)-kovarianten Beschreibung zur SO(3) kovarianten (also nichtrelativistischen) Beschreibung der E-Dynamik. Dies soll dem Zuhoerer am Ende des Vortrags in moeglichst grosser Klarheit und eingebettet die elementaren Begriffe von Gruppen- und Darstellungstheorie vor Augen stehen. Es soll hier also weniger neuer Stoff (gegenueber der Vorlesung) vermittelt werden, sondern vielmehr der schon diskutierte Stoff mathematisch klarer und tiefer dargstellt werden.

(6) Herleitung des verallgemeinerten Satz v. Stokes und Anwendungen

Termin: 24.05.,   Sprecher*innen: Wolgin/Seifert

Literatur: Altland / von Delft, Thirring, Lechner (siehe Literatur zur Vorlesung);   ME;   NS, Kap. 2.3;   GS, Kap. 2.4 bis 2.9;   Arn, Kapitel 7;   Wald, Appendix B1, B2 (und Teile von Kapitel 1 und 2);   Pol, Vol. II, App. B.4;   Land, Kap. 3.7;   Ganz elementar: TM2, Kapitel 8

Weitere Hinweise:   Man sollte den Leser zunaechst an die sicherlich immer noch nicht hinreichend vertrauten Konzepte von (Co-)Tangentialraum und p-Formen erinnern. Bei der eigentlichen Herleitung koennte man Altland/von Delft folgen. (Es gibt natuerlich viele Mathematik-Lehrbuecher mit einer vielleicht eleganteren/saubereren Darstellung, aber fuer uns sind die Ideen und die Rechnung wichtiger als die Rigerositaet.) Bei den Anwendungen stehen die Herleitung des Fundamentalsatzes der Analysis sowie von 'Gauss' (in allen Dimensionen) sowie von Stokes in 2d und 3d im Vordergrund. Dann kann man konkret zur Physik kommen und etwas zur 'Messung der Ladung' durch Integrale von F bzw. von E sagen. Die kovariante und nicht-kovariante Formulierung koennten gegenuebergestellt werden. Man koennte auch ueber Stromdichten und deren 'Divergenz' in verschiedenen Dimensionen sprechen. Ebenso koennte man diskutieren, das man fuer den Satz an sich keine Metrik braucht (also ohne Weiteres auch auf gekruemmten Raeumen arbeiten kann) und wie die Metrik bei Benutzung des Hodge-Operators doch ins Spiel kommt.

(7) Der Hodge-Operator und seine Anwendungen in der Differentialform-Formulierung von Feldtheorien

Termin: 31.05.,   Sprecher*innen: Batmunkh/Baas

Literatur: Kapitel L10 und V6 von Altland/van Delft, Thirring (siehe Literatur zur Vorlesung), ME (sehr detailliert und anschaulich!);   das Internet ist voll Diskussionen zur Anschauung und Bedeutung des Hodge-Operators, auch der Wikipedia-Artikel zum Hodge-Operator ist sehr lesenswert;     Lech;   Bert;   GS;   HT;   Nak;   BBS

Weitere Hinweise:   Ziel soll es sein, die Anschauung fuer den in der Vorlesung definierten und mehrfach benutzten Hodge-Operator ('Hodge-Star') zu entwickeln. Dazu sollte man die koordinatenunabhaengige Definition und die Definition in Koordinaten gegenueberstellen und viel mit expliziten Beispiele in niedrigen Dimensionen arbeiten. Die Volumenform spielt eine wichtige Rolle und sollte auch diskutiert werden. Man koennte auch ueber die Bedeutung von des Hodge-* fuer die Definition des Co-Differentials und des verallgemeinerten Laplace-Operators sprechen, wenn die Zeit dies zulaesst.

(8) Verallgemeinerung der Elektrodynamik auf p-Form-Eichtheorien in d Raumzeit-Dimensionen

Termin: 07.06.,   Sprecher*innen: Roeth/Lensch

Literatur:   HT;   Land, Kapitel 6.1;   BBS, Kapitel 6.2;   Lech

Weitere Hinweise:   Im Prinzip soll die Analyse von Kapitel 9.5 der Vorlesung wiederholt werden, nur nicht mit p=1 sondern fuer beliebiges p. Es geht also speziell um die allgemeine kovariante Wirkung, mit Ankopplung and die Weltflaeche oder an den entsprechenden Strom und die Herleitung der Bewegungsgleichungen. Es soll erklaert werden, welche anschauliche Bedeutung die geladenen Objekte haben, vielleicht am Beispiel des Strings (eine Dimension mehr als in der E-Dynamik), der Domain-Wall (zwei Dimensionen mehr) und des sogenannten Instantons (eine Dimension weniger - also nur ein Punkt in der Raum-Zeit). Das letzte Beispiel ist insofern interessant, als das p-Form-Feld dann (weil p=0) ein einfaches Skalarfeld ist. Es soll moeglichst viel mit einfachen Beispielen und Bildern gearbeitet werden. Zum Beispiel koennte man den Gausschen Satz und die Ladungserhaltung diskutieren. Wichtig ist auch, dass es immer noch eine elektrisch-magnetische Dualitaet gibt, aber die Objekte und Form-Felder auf den beiden Seiten verschiedene Dimensionen haben. Zum Beispiel hat man in d=5 auf der einen Seite der Dualitaet p=1 und ein Teilchen und auf der anderen Seite p=2 und einen String.

(9) Die verschiedenen geladenen Objekte einer p-Form Eichtheorie mit entsprechenden Feldlösungen und Beispielen in d≤4

Termin: 14.06.,   Sprecher*innen: Hanke/Song

Literatur:   Zwie, Kapitel 3.5;   Land, Kapitel 6.1;   BBS, Kapitel 6.2 und besonders 12.1;   HT;   Lech

Weitere Hinweise:   Das primaere Ziel besteht darin, den Umgang mit Differentialformen in beliebigen Dimensionen im physikalischen Kontext zu ueben. Man kann das zum Beispiel an der ausfuehrlichen Diskussion des Feldes einer statischen Ladung einer p-Form-Theorie in d Raum-Zeit-Dimensionen tun. Man schreibe dazu die Rechnungen in Kap. 3.5 von Zwie in Formensprache um und verallgemeinere auf p ungleich 1. Als Grundlage dienen natuerlich HT und die vorherigen beiden Vortraege. Ausserdem koennte Kap. 12.1 von BBS nuetzlich sein, wobei man aber ueber vieles "hinweggehen" muss, was im Moment zu kompliziert und fuer uns nicht wichtig ist (Gleichungen (12.5) und (12.11) sind nuetzlich). Die Metrik lassen wir natuerlich flach, da wir im Moment ohne Gravitation arbeiten. Wir wollen in einigen einfachen Faellen, zum Beispiel fuer d=3/p=1, d=4/p=1 und d=4/p=2 BIS INS LETZTE explizit sein, also sogar die Winkelkoordinaten der entsprechenen Sphaeren ausschreiben. Ausserdem wird es nuetzlich sein, zu verstehen, dass *1 die Volumenform ist und wie bei uns die Volumenform auf der Einheitssphaere auftaucht.

(10) Der magnetische Monopol aus Sicht der `elektrischen' Beschreibung der Theorie und der sogenannte Dirac-String

Termin: 21.06.,   Sprecher*innen: Schulze/Schlenker

Literatur:   Bert, Kapitel 6.4;   Nak, Kapitel 10.5.2;   Ryd, Kapitel 10.3;   CL, Kapitel 15.1;   Jack, Kapitel 6.11. und 6.12

Weitere Hinweise:   Die 3 Vortraege (10), (11) und (12) orientieren sich grob an den Abschnitten 6.4 und 6.5 von Bert, wobei der Vortrag (10) in etwa dort (in der Mitte von 6.4) endet, wo Bert mit "Fibre-bundle topology" beginnt. Es soll darum gehen, das (elektrische) Vektorpotential zum magnetischen Monopol herzuleiten und zu erklaeren, warum dieses immer einen Dirac-String definiert. Dann soll diskutiert werden, wie man diesen umgeht, indem man zwei verschiedene Vektorpotentiale durch eine Eichtransformation zusammenbringt. Schliesslich betrachtet man ein elektrisch geladenes quantenmechanisches Teilchen im Monopol-Feld und zeigt, dass die Konsistenz der erforderlichen Eichtransformation mit der Quantenmechanik die Ladungsquantisierung erzwingt. Neben der Darstellung von Bert sind weitere nuetzliche Darstellungen z.B. in Nak, Ryd, CL und Jack zu finden.

(11) Das mathematische Konzept von (Vektror-)Bündeln, die Beschreibung der Elektrodynamik durch Prinzipalfaserbüdel und die Hopf-Faserung

Termin: 28.06.,   Sprecher*innen: Homburg/F.Schneider

Literatur:   Bert, Teile aus Kapitel 2.7 und 6.4 - so wie unten beschrieben.   Blee;   GS, insbesondere Kapitel 9.8;   Nak, Kapitel 10.1

Weitere Hinweise:   Wie oben schon erwaehnt: Die 3 Vortraege (10), (11) und (12) orientieren sich grob an den Abschnitten 6.4 und 6.5 von Bert, wobei der Vortrag (10) in etwa dort (in der Mitte von 6.4) endet, wo Bert mit "Fibre-bundle topology" beginnt. Hier koennte man also mit Vortrag (11) ansetzen, wobei aber UNBEDINGT eine elementare und ausfuehrliche Diskussion von Faserbuendeln im Allgemeinen und Prinzipalfaserbuendeln im Besonderen vorangestellt werden muss. Diese darf die Haelfte oder mehr des Vortrages umfassen, weil das sehr neuer und abstrakter Stoff ist (zu dem es allerdings im Web dutzende Referenzen gibt.) Eine nuetzliche Diskussion findet sich z.B. in Bert, Kap. 2.7, speziell Kap. 2.7.2. Leider ist sowohl in Bert als auch an vielen anderen Stellen von sogenannten nichtabelschen Eichtheorien die Rede, was fuer uns unnoetig kompliziert ist. Wir wollen nur den abelschen Fall (Eichgruppe U(1)) verstehen. Jede damit zusammenhaengende Vereinfachung ist fuer uns zulaessig und gut. Jegliche Beweise koennen weggelassen werden - mehr als elementare Anschauung und Anwendung auf einfachste Beispiele ist zeitlich nicht drin (wenn moeglich immer gleich in Koordinaten arbeiten). Was am Ende vermittelt werden sollte ist im Wesentlichen folgendes: Eine Abelsche Eichtheorie wird geometrisch beschrieben durch ein Prinzipalfaserbuendel ueber der Raumzeit. Unser Eichpotential ist ein Zusammenhang (Connection) dieses Buendels. Durch diese Abstraktion hat man die Eichfreiheit eliminiert - der abstrakte Zusammenhang ist also der echte, physikalische Gehalt dessen, was man als Physiker Eichpotential nennt. Geht man in Koordinaten, bekommt man wieder die vertraute 1-Form mit ihren Eichtransformationen, die von den erlaubten Koordinatenwechseln auf dem Buendel-Raum kommen.

Die sogenannte Hopf-Faserung soll der Glanzpunkt des Ganzen sein, aber es ist akzeptabel, wenn diese aus Zeitgruenden im Wesentlichen qualitativ und durch Bilder (siehe die vielen schoenen Bilder im Web) diskutiert wird. Im Prinzip kann man wie auch vorher dem Kap. 6.4 aus Bert folgen, aber es wird sicher nicht alles im Detail durchrechenbar bleiben. Der Zuhoerer soll am Ende zumindest grob verstanden haben, dass es eine nichttriviale Faserung von U(1) = S1 ueber der S2 gibt und dass dies gerade der Faserbuendelbeschreibung des Feldes auf einer Sphaere um einen Monopol entspricht.

(12) Der Aharonov-Bohm-Effekt

Termin: 05.07.,   Sprecher*innen: J.Schneider/Martin

Literatur:   Bert, Kapitel 6.5;   Nak, Kapitel 10.5.3;   Ryd, Kapitel 3.4;   und auch viele andere Buecher (vor allem auch zur Quantenmechanik)

Weitere Hinweise:   Dies ist ein klassisches Thema, welches in fast allen Standard-E-Dynamik-Buechern (bzw. manchmal in den entsprechenden Quantenmechanik-Buechern) besprochen wird. Neben dieser "kanonischen" Darstellung des experimentellen Sachverhalts und der theoretischen Beschreibung (z.B. durch Eichtransformation der QM-Wellenfunktion), soll es uns auch um die Anknuepfung an das Prinzipalfaserbuendel-Bild des letzten Vortrags gehen. Im Gegensatz zum Monopol und der Hopf-Faserung handelt es sich hier um eine Faserung, die topologisch trivial ist. Auch ist der Zusammenhang lokal flach, also ohne Feldstaerke. Aber global, also wenn man den Pfad um die Spule betrachtet, ist der Zusammenhang nichttrivial: Es gibt eine sogenannte Holonomie. Diese Ideen sollen erklaert werden - in so viel technischem Detail und mit so viel Bezug zum Faserbuendel-Bild, wie moeglich. Es ist naheliegend, den beiden vorhergehenden Vortraegen folgend bei Bert zu bleiben und sich demnach primaer auf Bert, Kap. 6.5 zu stuetzen.

(13) Die Ladungsquantisierung in der E-Dynamik und, allgemeiner, in p-Form-Eichtheorien

Termin: 12.07.,   Sprecherin*innen: Beckmann/Bacherle

Literatur:   HT;   SF, Appendix A;   HMTW, App. B

Weitere Hinweise:   Man koennte damit beginnen, die am Ende von Vortrag 10 benutzte Logik zur Quantisierung zu wiederholen. Dann koennte man noch, zur Vollstaendigkeit, das oft vorgebrachte Argument ueber Drehimpuls-Quantisierung vorstellen (siehe z.B. Anhang A von SF, aber auch in vielen anderen Buechern).

Aber das allgemeinste und einfachste Argument, was sich auch leicht auf p-Formen verallgemeinern laesst, ist sicher das, welches sich auf das quantenmechanische Pfadintegral stuetzt. Man setze dazu voraus, dass man die ganze Quantenmechanik auf einem Integral ueber exp(iS), mit S der Wirkung, aufbauen kann. Jetzt muss man nur noch dafuer sorgen, dass exp(iS) fuer die Wirkung eines geladenen Objektes in Gegenwart eines dualen geladenen Objektes (vgl. Elektron in Gegenwart eines Monopols) immer wohldefiniert ist. Mit anderen Worten, man legt eine Sphaere um das duale (magnetische) Objektes und die Weltflaeche des elektrischen Objektes auf deren Aequator. Dann vergleicht man die Wirkung in den beiden Eichungen, in denen der "Dirac-String" am Nordpol bzw. Suedpol sitzt. Die Forderung, dass sich S dabei um 2 pi aendert, ist genau die Ladungsquantisierung.

Es waere schoen, die einfachsten Beispiele (2d, 3d etc.) explizit durchzuspielen.

Literatur:

Lech: Kurt Lechner, Classical Electrodynamics, A Modern perspective, Springer, 2018.

Jack: J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd edition, Wiley, 1998.

BF: Bartelmann/Feuerbacher/et al., Theoretische Physik, Springer, 2015.

LL: Landau/Lifshitz, The Classical Theory of Fields, Pergamon Press, 1975.

PSw: Petrscheck/Schwabl: Elektrodynamik, Springer, 2015.

Nol: W. Nolting, Electrodynamics, Springer, 2016.

Reb: E. Rebhan, Theoretische Physik: Elektrodynamik, Springer, 2015.

Nak: M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics, Institute of Physics Publishing, 2003.

Zwie: B. Zwiebach, A First Course in String Theory, Cambridge University Press, 2005.

PS: Peskin/Schröder, Quantum Field Theory, Addison-Wesley, 1995.

Ryd: Lewis H Ryder, Quantum Field Theory, Cambridge Univrsity Press, 1985.

HT: Henneaux/Teitelboim: p-Form Electrodynamics, Foundations of Physics, Vol 16, No 7, p. 593, 1986.

Sred: M. Srednicki, Quantum Field Theory, Cambridge University Press, 2010.

IZ: Itzykson/Zuber, Quantum Field Theory, McGraw-Hill, 1980.

Arn: V.I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer, 1980.

Bert: R.A. Bertlmann, Anomalies in Quantum Field Theory, Oxford University Press, 2000.

BBS: Becker/Becker/Schwarz, String Theory and M-Theory, Cambridge University Press, 2007.

GS: Göckeler/Schücke, Differential Geometry, Gauge Theories and Gravity, Cambridge University Press, 1987.

Wald: R.M. Wald, General Relativity, University of Chicago Press, 1984.

Blee: D. Bleeker, Gauge Theory and Variational Principles, Dover Books on Physics, 2005.

NS: Nash/Sen, Topology and Geometry for Physicists, Academic Press, 1983.

SF: Susskind/Friedman, Special Relativity and Classical Field Theory, Basic Books, 2017

FOF: JM Figueroa-O'Farrill, Electromagnetic Duality for Children, 1998.

Pol: J Polchinski, String Theory, Vol. I and II, Cambridge University Press, 1998.

CL: Cheng/Li, Gauge Theory of Elementary Particle Physics, Oxford University Press, 1984

TM1: Skript zur Theoretischen Mechanik I von Arthur Hebecker.

TM2: Skript zur Theoretischen Mechanik II von Arthur Hebecker.

QFTI: Skript zur Quantenfeldtheorie I von Arthur Hebecker.

Land: Skript zu "Beyond the Standard Model and the String Theory Landscape" von Arthur Hebecker.

HMTW: Hebecker/Mangat/Theisen/Witkowski: Can Gravitational Instantons Really Constrain Axion Inflation?

DM: Dittmaier/Maierhöfer: Group Theory for Physicists , einschließlich der vielen Referenzen direkt auf der Webseite

Wipf: A. Wipf: Symmetrien in der Physik

Laine: M. Laine: Symmetrien in der Physik

ME: Meetz/Engl, Elektromagnetische Felder, Springer, 1980