Dozent: A. Hebecker , Zeit und Ort: Freitags, 14:15-16:00, Philosophenweg 19, Seminarraum
Erster Vortrag: 24. April
In Ergänzung zur Vorlesung sollen fortgeschrittenere oder aus Zeitgründen nicht besprochene Themen aus der Elektrodynamik behandelt werden. Insbesondere soll die Elektrodynamik als Beispiel einer relativistisch kovarianten und durch eine Lagrangedichte definierten Feldtheorie aufgefasst werden. Es sollen die besonders elegante Formulierung durch Differentialformen sowie die damit naheliegenden Verallgemeinerungen auf sogenannte p-Form-Eichtheorien in beliebigen Raum-Zeit-Dimensionen besprochen werden. Die Geometrie wird insgesamt mehr betont werden, als es in einer einführenden Vorlesung i.A. möglich ist.
Die Teilnehmer bereiten selbständig Vorträge zu den einzelnen Themen (siehe unten) vor und halten diesen an der Tafel. Konsultationen mit dem Dozenten werden angeboten. Eine detaillierte schriftliche Ausarbeitung wird nicht gefordert, aber gut lesbare handgeschriebene Notizen sollen kopiert und an die Teilnehmer verteilt werden. Die reine Vortragszeit beträgt zwischen 45 und 60 min. Der Rest der Zeit wird für Fragen und Diskussion benötigt. Neben dem Vortrag sind Teilnahme an allen anderen (außer im Krankheitsfall) Seminaren, insbesondere auch an der Diskussion, Voraussetzung für die Scheinvergabe.
Termin: 24.04., Sprecher: Morten Will
Literatur: Jack, Kapitel 7 (insbes. 7.3 und 7.4); ( und enstprechende Kapitel vieler anderer Bücher, z.B. PSw, 10.1 bis 10.3; Nol, 4.3.10 )Weitere Hinweise: Sie koennen sich relative nah an 7.3 und 7.4 von Jack halten. Es kommt zu einem geringfuegigen Ueberlapp mit (bzw. einer alternativen Herleitung von) Resultaten ganz am Ende des Vorlesungsskripts von Schwarz. Dies ist aber nicht schlimm. Erinnern Sie den Hoerer zu Beginn des Vortrags auch an die notwendigen Fakten zur E, D, B und H-Feldern und der entsprechenden Wellengleichung in Medien. Dazu finden Sie einiges in Jack 7.1 und 7.2, aber natuerlich auch Skript. Brewster-Winkel und Totalreflexion sollten unbedingt diskutiert werden. Wenn Sie nicht alles technisch durchzurechnen schaffen, kuerzen Sie, so dass der Hoerer die Hauptideen immer noch verstehen kann.
Fuer diesen und alle anderen Vortraege gilt: Sie muessen den obigen Hinweisen nicht folgen. Diese sollen nur eine Hilfestellung sein.
Termin: 08.05., Sprecher: Robert Zimmermann
Literatur: Jack, Kapitel 8 (insbes. 8.2 bis 8.4); ( und enstprechende Kapitel vieler anderer Bücher, z.B. PSw, 10.5; Reb, 7.7 )Weitere Hinweise: Eine Moeglichkeit waere, sich auf die Kapitel 8.2 bis 8.4 aus Jack zu konzentrieren, wobei jedoch einiges aus 8.1 gesagt werden sollte, um die gemachten Naeherungen zu verstehen. Je nach Zeitbudget, sollte der Resonator (Jack, 8.7) sowie der Begriff des Q-Faktors (Guetefaktor, Jack 8.8) besprochen oder zumindest erwaehnt werden. Gutes Verstaendnis der wichtigsten Rechnungen aus 8.2-8.4 geht allerdings vor.
Termin: 15.05., Sprecher: Tobias Röspel
Literatur: Sred, Teil 1, Kapitel 2; Nak, Kapitel 5.6; Verschiedenste Bücher und Lecture-Notes zu Lie-Algebren und -Gruppen; Ganz elementar: TM1, Kapitel 5 und 6, speziell 6.4; Ganz elementar: TM2, Kapitel 7Weitere Hinweise: Man koennte starten mit einer Erinnerung an Matrix-Gruppen, deren Lie-Algebren, sowie die Beziehung zwischen diesen durch die Exponential-Funktion. Ein gutes Beispiel zur Illustration sind die Gruppen SO(N), welche man als Tranformation des RN definieren kann, welche die Euklidische Metrik invariant lassen. Aendert man nun ein Vorzeichen der Metrik-Eigenwerte, so hat man damit bereits den Raum R1,N-1 und als entsprechende Symmetrie-Gruppe die Lorentz-Gruppe (sowie die zugehoerige Symmetrie-Algebra). Nun muss man nur noch die Translationen hinzunehmen und hat damit die Poincare-Gruppe und Lie-Algebra. Achtung - in diesem letzten Schritt verlaesst man natuerlich die Domaene der Matrix-Gruppen und Lie-Algebren. Trotzdem kann man die Kommutatorrelationen der Poincare-Lie-Algebra noch einigermassen kompakt hinschreiben (siehe z.B. Sred). Entscheidend fuer die spaeter Anwendung sind jedoch vor allem die explizite Realisierung von Lorentz-Transormationen durch Matrizen (welche die Lorentz-Metrik invariant lassen) sowie ihre kovariant dargestellte Wirkung auf Vektoren, Kovektoren und Tensoren. Es geht also darum, moeglichst tief zu verstehen, was es bedeutet, wenn man sagt, dass xμ in Λμνxν uebergeht.
Termin: 22.05., Sprecher: Malte Schneider
Literatur: BF, Kapitel 20; LL; Kapitel 1 und 2, speziell Paragraph 16 - 18 und 27 - 30; IZ, Kapitel 1-1-2 und 1-1-3; PS, Kapitel 2.2 (von 2.3 sind die skalaren Wellenloesungen interessant) QFTI, In Kap. 1 wird die Lorentz-Kovarianz und in Kap. 2 der Uebergang von Mechanik zu Feldtheorie ausfuehrlich diskutiert.Weitere Hinweise: Man beginnt z.B. mit dem Wirkungsprinzip fuer das freie relativistische Teilchen. Dann betrachtet man dieses im elektromagnetischen Hintergrundfeld, beschrieben durch das 4-er Vektorpotential Aμ. Man pruefe, dasss durch Variation die bekannten Bewegungsgleichungen folgen. Man pruefe ebenso die Eichinvarianz. Dann kommt man logischerweise auf die Idee, auch fuer das Feld Aμ eine Wirkung hinschreiben zu wollen. Bevor man dies versucht, erklaert man vielleicht zuerst, am Beispiel des reellen Skalarfeldes, das allgemeine Konzept einer lorentz-kovarianten Feldtheorie, ihrer Wirkung und der daraus folgenden Bewegungsgleichungen (sowie der Wellen als Loesungen). Dann wird man mittels der Forderungen der Eich- und Lorentz-Invarianz sehr schnell darauf kommen, wie man aus der Feldstaerke Fμν die gewuenschte Lagrange-Dichte und Wirkung baut. Es folgen die Kopplung an den Strom (als eine Art verschmierte Punktteilchen-Trajektorie) und die Maxwell-Gleichungen. Auf die Hamiltonsche Formulierung kann man (ausser, man hat noch genug Zeit) komplett verzichten.
Termin: 29.05., Sprecher: Adrian Schlosser
Literatur: NS, Kap. 2.3; GS, Kap. 2.4 bis 2.9; Arn, Kapitel 7; Wald, Appendix B1, B2 (und Teile von Kapitel 1 und 2); Pol, Vol. II, App. B.4; Land, Kap. 3.7; Ganz elementar: TM2, Kapitel 8Weitere Hinweise: Wir arbeiten hier immer in einer offenen Teilmenge von Rn, die durch geeigente Koordinaten parametrisiert ist. (Viele Buecher betten dies in den fortgeschritteneren Begriff der Mannigfaltigkeit ein, aber das brauchen wir nicht.) An jedem Punkt des Rn haben wir einen Tangentialraum - dieser muss sorgfaeltig erklaert werden. Der Cotangentialtraum ist der Dualraum dazu. Die 1-Form eine "Funktion", welche ihre Werte im Cotangtialraum am jeweiligen Punkt annimmt. Jetzt kann man schon sehr natuerlich das Linienintegral einer 1-Form definieren und kommt zum (nahezu trivialen) verallg. Satz von Stokes in einer Dimension. Nun muss man noch durch Tensorprodukt und Antisymmetrisierung zu p-Formen uebergehen und auch die aeussere Ableitung definieren. Es soll insgesamt primaer um Notation und Anwendung gehen - tiefes Durchdringen im mathematischern Sinne ist in der Zeit nicht zu schaffen.
Termin: 05.06., Sprecher: Lucas Fix
Literatur: Thirr; Lech; Bert, Kap. 6.1; GS, Kap. 4.1; HT; Nak, Kapitel 5.4, speziell 5.4.2; BBS, Kapitel 6.2 Ryd, Kapitel 2.8 und 2.9Weitere Hinweise: Die bekannte kovariante Wirkung der E-Dynamik (mit Kopplung an die 4-er Stromdichte bzw. Linineintegral fuer geladenes Punktteilchen) soll in Differentialformen umgeschrieben werden. Dann sollen daraus durch Variation direkt die Maxwell-Gleichungen in Differentialformen abgeleitet werden. Der homogege Teil der Maxwell-Gleichungen folgt schlicht daraus, dass F eine exakte 2-Form ist. Hauptziel ist das Verstaendnis, dass Formen kein "Teufelswerk" sind, sondern dass man ganz explizit zwischen Formen und Tensor-Notation wechseln kann. Formen machen schlicht einiges kompakter und geometrischer. Sie sind die mathematisch natuerliche Sprache zur Beschreibung der E-Dynamik.
Der Hodge-Operator oder Hodge-Stern soll ausfuehrlich erklaert werden (was im flachen Raum aber sehr einfach ist - keine allgemeine Metrik einfuehren). Die duale Formulierung (siehe vor allem BBS) besteht schlicht darin, dass man "*F" durch eine neue 2-Form "F-tilde" ersetzt, und das entsprechende Potential durch "F-tilde = d A-tilde" definiert. Dann tauschen homogene und inhomogene Maxwell-Gleichungen ihre Rollen. (Man spricht auch von Bewegungsgleichungen und Bianchi-Identitaet.) In der einen Formulierung sind nur elektrische, in der anderen nur magnetische Ladungen erlaubt. Der beschriebene Stoff findet sich in sehr vielen Quellen. Eine vielleicht gut zum Seminar passende Darstellung ist die in Bert, Kap. 6.1 oder auch GS, Kap. 4.1. Auch in BS, Kap. 6.2 findet sich einiges, vielleicht zu knapp. Wenn man es schafft, HT zu lesen und sich auf den Fall "p=1" einzuschraenken, ist das auch eine gute Quelle. Nuetzlich ist vielleicht auch das Paper von Stern et al. zu "Geometric Computational Electrodynamics..." . Relevant ist nur der Teil bis etwa Abschnitt 2.5. Besonders schoen ist in diesem Paper die Schreibung von "F" als Summe von "E" mal "dt" und "B", wobei "E" als 1-Form und "B" als 2-Form aufgefasst werden. Damit kann man z.B. leicht etwas zum Gausschen Satz fuer elektrische Ladungen sagen (Integral von *F ueber Sphaere). Vieles zur Anschauung (auch zu Differentialformen im Allgemeinen) findet sich noch im Paper von Warnick und Russer zu "Differential Forms and Electromagnetic...." . Das ist aber vielleicht zu ausfuehrlich und vereinfachend. Ausserdem ist der entsprechende Abschnitt in der Wikipedia-Seite "Mathematical descriptions of the electromagnetic field" gut. Schliesslich findet sich noch mehr Literatur im Diskussions-Thread Maxwell's equations in differential forms auf "mathoverflow.net".Termin: 12.06., Sprecher: Erik Fink
Literatur: HT; Land, Kapitel 6.1; BBS, Kapitel 6.2; LechWeitere Hinweise: Im Prinzip soll die Analyse des Vortrags (6) wiederholt werden, nur nicht mit p=1 sondern fuer beliebiges p. Es geht also speziell um die allgemeine kovariante Wirkung, mit Ankopplung and die Weltflaeche oder an den entsprechenden Strom und die Herleitung der Bewegungsgleichungen. Es soll erklaert werden, welche anschauliche Bedeutung die geladenen Objekte haben, vielleicht am Beispiel des Strings (eine Dimension mehr als in der E-Dynamik), der Domain-Wall (zwei Dimensionen mehr) und des sogenannten Instantons (eine Dimension weniger - also nur ein Punkt in der Raum-Zeit). Das letzte Beispiel ist insofern interessant, als das p-Form-Feld dann (weil p=0) ein einfaches Skalarfeld ist. Es soll moeglichst viel mit einfachen Beispielen und Bildern gearbeitet werden. Zum Beispiel koennte man den Gausschen Satz und die Ladungserhaltung diskutieren. Wichtig ist auch, dass es immer noch eine elektrisch-magnetische Dualitaet gibt, aber die Objekte und Form-Felder auf den beiden Seiten verschiedene Dimensionen haben. Zum Beispiel hat man in d=5 auf der einen Seite der Dualitaet p=1 und ein Teilchen und auf der anderen Seite p=2 und einen String.
Termin: 19.06., Sprecher: Hüseyin Yildez
Literatur: Zwie, Kapitel 3.5; Land, Kapitel 6.1; BBS, Kapitel 6.2 und besonders 12.1; HT; LechWeitere Hinweise: Das primaere Ziel besteht darin, den Umgang mit Differentialformen in beliebigen Dimensionen im physikalischen Kontext zu ueben. Man kann das zum Beispiel an der ausfuehrlichen Diskussion des Feldes einer statischen Ladung einer p-Form-Theorie in d Raum-Zeit-Dimensionen tun. Man schreibe dazu die Rechnungen in Kap. 3.5 von Zwie in Formensprache um und verallgemeinere auf p ungleich 1. Als Grundlage dienen natuerlich HT und die vorherigen beiden Vortraege. Ausserdem koennte Kap. 12.1 von BBS nuetzlich sein, wobei man aber ueber vieles "hinweggehen" muss, was im Moment zu kompliziert und fuer uns nicht wichtig ist (Gleichungen (12.5) und (12.11) sind nuetzlich). Die Metrik lassen wir natuerlich flach, da wir im Moment ohne Gravitation arbeiten. Wir wollen in einigen einfachen Faellen, zum Beispiel fuer d=3/p=1, d=4/p=1 und d=4/p=2 BIS INS LETZTE explizit sein, also sogar die Winkelkoordinaten der entsprechenen Sphaeren ausschreiben. Ausserdem wird es nuetzlich sein, zu verstehen, dass *1 die Volumenform ist und wie bei uns die Volumenform auf der Einheitssphaere auftaucht.
Termin: 26.06., Sprecher: Johannes Schmidt
Literatur: Bert, Kapitel 6.4; Nak, Kapitel 10.5.2; Ryd, Kapitel 10.3; CL, Kapitel 15.1; Jack, Kapitel 6.11. und 6.12Weitere Hinweise: Die 3 Vortraege (9), (10) und (11) orientieren sich grob an den Abschnitten 6.4 und 6.5 von Bert, wobei der Vortrag (9) in etwa dort (in der Mitte von 6.4) endet, wo Bert mit "Fibre-bundle topology" beginnt. Es soll darum gehen, das (elektrische) Vektorpotential zum magnetischen Monopol herzuleiten und zu erklaeren, warum dieses immer einen Dirac-String definiert. Dann soll diskutiert werden, wie man diesen umgeht, indem man zwei verschiedene Vektorpotentiale durch eine Eichtransformation zusammenbringt. Schliesslich betrachtet man ein elektrisch geladenes quantenmechanisches Teilchen im Monopol-Feld und zeigt, dass die Konsistenz der erforderlichen Eichtransformation mit der Quantenmechanik die Ladungsquantisierung erzwingt. Neben der Darstellung von Bert sind weitere nuetzliche Darstellungen z.B. in Nak, Ryd, CL und Jack zu finden.
Termin: 03.07., Sprecher: Alex Arnhold
Literatur: Bert, Teile aus Kapitel 2.7 und 6.4 - so wie unten beschrieben. Blee; GS, insbesondere Kapitel 9.8; Nak, Kapitel 10.1Weitere Hinweise: Wie oben schon erwaehnt: Die 3 Vortraege (9), (10) und (11) orientieren sich grob an den Abschnitten 6.4 und 6.5 von Bert, wobei der Vortrag (9) in etwa dort (in der Mitte von 6.4) endet, wo Bert mit "Fibre-bundle topology" beginnt. Hier koennte man also mit Vortrag (10) ansetzen, wobei aber UNBEDINGT eine elementare und ausfuehrliche Diskussion von Faserbuendeln im Allgemeinen und Prinzipalfaserbuendeln im Besonderen vorangestellt werden muss. Diese darf die Haelfte oder mehr des Vortrages umfassen, weil das sehr neuer und abstrakter Stoff ist (zu dem es allerdings im Web dutzende Referenzen gibt.) Eine nuetzliche Diskussion findet sich z.B. in Bert, Kap. 2.7, speziell Kap. 2.7.2. Leider ist sowohl in Bert als auch an vielen anderen Stellen von sogenannten nichtabelschen Eichtheorien die Rede, was fuer uns unnoetig kompliziert ist. Wir wollen nur den abelschen Fall (Eichgruppe U(1)) verstehen. Jede damit zusammenhaengende Vereinfachung ist fuer uns zulaessig und gut. Jegliche Beweise koennen weggelassen werden - mehr als elementare Anschauung und Anwendung auf einfachste Beispiele ist zeitlich nicht drin (wenn moeglich immer gleich in Koordinaten arbeiten). Was am Ende vermittelt werden sollte ist im Wesentlichen folgendes: Eine Abelsche Eichtheorie wird geometrisch beschrieben durch ein Prinzipalfaserbuendel ueber der Raumzeit. Unser Eichpotential ist ein Zusammenhang (Connection) dieses Buendels. Durch diese Abstraktion hat man die Eichfreiheit eliminiert - der abstrakte Zusammenhang ist also der echte, physikalische Gehalt dessen, was man als Physiker Eichpotential nennt. Geht man in Koordinaten, bekommt man wieder die vertraute 1-Form mit ihren Eichtransformationen, die von den erlaubten Koordinatenwechseln auf dem Buendel-Raum kommen.
Die sogenannte Hopf-Faserung soll der Glanzpunkt des Ganzen sein, aber es ist akzeptabel, wenn diese aus Zeitgruenden im Wesentlichen qualitativ und durch Bilder (siehe die vielen schoenen Bilder im Web) diskutiert wird. Im Prinzip kann man wie auch vorher dem Kap. 6.4 aus Bert folgen, aber es wird sicher nicht alles im Detail durchrechenbar bleiben. Der Zuhoerer soll am Ende zumindest grob verstanden haben, dass es eine nichttriviale Faserung von U(1) = S1 ueber der S2 gibt und dass dies gerade der Faserbuendelbeschreibung des Feldes auf einer Sphaere um einen Monopol entspricht.Termin: 10.07., Sprecher: Thomas Leib
Literatur: Bert, Kapitel 6.5; Nak, Kapitel 10.5.3; Ryd, Kapitel 3.4; und auch viele andere Buecher (vor allem auch zur Quantenmechanik)Weitere Hinweise: Dies ist ein klassisches Thema, welches in fast allen Standard-E-Dynamik-Buechern (bzw. manchmal in den entsprechenden Quantenmechanik-Buechern) besprochen wird. Neben dieser "kanonischen" Darstellung des experimentellen Sachverhalts und der theoretischen Beschreibung (z.B. durch Eichtransformation der QM-Wellenfunktion), soll es uns auch um die Anknuepfung an das Prinzipalfaserbuendel-Bild des letzten Vortrags gehen. Im Gegensatz zum Monopol und der Hopf-Faserung handelt es sich hier um eine Faserung, die topologisch trivial ist. Auch ist der Zusammenhang lokal flach, also ohne Feldstaerke. Aber global, also wenn man den Pfad um die Spule betrachtet, ist der Zusammenhang nichttrivial: Es gibt eine sogenannte Holonomie. Diese Ideen sollen erklaert werden - in so viel technischem Detail und mit so viel Bezug zum Faserbuendel-Bild, wie moeglich. Es ist naheliegend, den beiden vorhergehenden Vortraegen folgend bei Bert zu bleiben und sich demnach primaer auf Bert, Kap. 6.5 zu stuetzen.
Termin: 17.07., Sprecherin: Salome Schwark
Literatur: HT; SF, Appendix A; HMTW, App. BWeitere Hinweise: Man koennte damit beginnen, die am Ende von Vortrag 9 benutzte Logik zur Quantisierung zu wiederholen. Dann koennte man noch, zur Vollstaendigkeit, das oft vorgebrachte Argument ueber Drehimpuls-Quantisierung vorstellen (siehe z.B. Anhang A von SF, aber auch in vielen anderen Buechern).
Aber das allgemeinste und einfachste Argument, was sich auch leicht auf p-Formen verallgemeinern laesst, ist sicher das, welches sich auf das quantenmechanische Pfadintegral stuetzt. Man setze dazu voraus, dass man die ganze Quantenmechanik auf einem Integral ueber exp(iS), mit S der Wirkung, aufbauen kann. Jetzt muss man nur noch dafuer sorgen, dass exp(iS) fuer die Wirkung eines geladenen Objektes in Gegenwart eines dualen geladenen Objektes (vgl. Elektron in Gegenwart eines Monopols) immer wohldefiniert ist. Mit anderen Worten, man legt eine Sphaere um das duale (magnetische) Objektes und die Weltflaeche des elektrischen Objektes auf deren Aequator. Dann vergleicht man die Wirkung in den beiden Eichungen, in denen der "Dirac-String" am Nordpol bzw. Suedpol sitzt. Die Forderung, dass sich S dabei um 2 pi aendert, ist genau die Ladungsquantisierung. Es waere schoen, die einfachsten Beispiele (2d, 3d etc.) explizit durchzuspielen.Lech: Kurt Lechner, Classical Electrodynamics, A Modern perspective, Springer, 2018.
Thirr: Walter Thirring, Principles of Quantum Electrodynamics, Academic Press, 2013.
Jack: J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd edition, Wiley, 1998.
BF: Bartelmann/Feuerbacher/et al., Theoretische Physik, Springer, 2015.
LL: Landau/Lifshitz, The Classical Theory of Fields, Pergamon Press, 1975.
PSw: Petrscheck/Schwabl: Elektrodynamik, Springer, 2015.
Nol: W. Nolting, Electrodynamics, Springer, 2016.
Reb: E. Rebhan, Theoretische Physik: Elektrodynamik, Springer, 2015.
Nak: M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics, Institute of Physics Publishing, 2003.
Zwie: B. Zwiebach, A First Course in String Theory, Cambridge University Press, 2005.
PS: Peskin/Schröder, Quantum Field Theory, Addison-Wesley, 1995.
Ryd: Lewis H Ryder, Quantum Field Theory, Cambridge Univrsity Press, 1985.
HT: Henneaux/Teitelboim: p-Form Electrodynamics, Foundations of Physics, Vol 16, No 7, p. 593, 1986.
Sred: M. Srednicki, Quantum Field Theory, Cambridge University Press, 2010.
IZ: Itzykson/Zuber, Quantum Field Theory, McGraw-Hill, 1980.
Arn: V.I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer, 1980.
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BBS: Becker/Becker/Schwarz, String Theory and M-Theory, Cambridge University Press, 2007.
GS: Göckeler/Schücke, Differential Geometry, Gauge Theories and Gravity, Cambridge University Press, 1987.
Wald: R.M. Wald, General Relativity, University of Chicago Press, 1984.
Blee: D. Bleeker, Gauge Theory and Variational Principles, Dover Books on Physics, 2005.
NS: Nash/Sen, Topology and Geometry for Physicists, Academic Press, 1983.
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FOF: JM Figueroa-O'Farrill, Electromagnetic Duality for Children, 1998.
Pol: J Polchinski, String Theory, Vol. I and II, Cambridge University Press, 1998.
CL: Cheng/Li, Gauge Theory of Elementary Particle Physics, Oxford University Press, 1984
TM1: Skript zur Theoretischen Mechanik I von Arthur Hebecker.
TM2: Skript zur Theoretischen Mechanik II von Arthur Hebecker.
QFTI: Skript zur Quantenfeldtheorie I von Arthur Hebecker.
Land: Skript zu "Beyond the Standard Model and the String Theory Landscape" von Arthur Hebecker.
HMTW: Hebecker/Mangat/Theisen/Witkowski: Can Gravitational Instantons Really Constrain Axion Inflation?