Con el avance cultural del ser humano los números también debieron generalizarse, por ejemplo no basta cuando alguien habla de dinero, sólo hablar del valor absoluto (por ejemplo, el número de monedas), sino que se debe expresar si se tiene o se debe dinero. Eso se expresa hoy en día con el color del número ("números rojos") o por medio de un signo o , respectivamente. En las ciencias naturales, los signos se hicieron costumbre..

Un físico puede trasladar una marca en su regla de medir en una cantidad arbitraria de puntos hacia la derecha, pero se encuentra con dificultades al trasladar la marca hacia la izquierda. Formulado en forma matemática: la ecuación no tiene solución para todos los números naturales y , tal que sea también un número natural: por ejemplo, . Tales ecuaciones se pueden resolver cuando se completan los números enteros por medio de la incorporación de los números negativos :

Para todo elemento positivo existe sólo un

También para existe un , esto es, una deuda de un peso a una haber de un peso.

Los matemáticos denotan el conjunto de todos los números enteros, que se compone de todos los números naturales , sus contrapartes negativas y el elemento nulo, con

Con esta generalización la ecuación anterior tiene siempre una solución para todo los pares números enteros, esto es, la diferencia , que nuevamente es un número entero . Se dice también que  es  "cerrado" frente a la adición: La adición no conduce a números fuera del conjunto. Esto nos lleva hacia un concepto central en la matemática (y también en la física) , aquel de grupo:

Se denomina un conjunto de objetos (como por ejemplo, los números enteros) como grupo si

• es cerrado con respecto a una conexión interna (como la adición),
• es válida la ley asociativa (como por ejemplo, ) ,
• posee sólo un elemento neutro (como por ejemplo el ) y
• para cada elemento existe el inverso (como por ejemplo, el negativo).

En caso que también sea válida la ley conmutativa (como por ejemplo, ), los matemáticos hablan de un grupo abeliano.