2 Знаки и числа

2.2 Числа

2.2.3 Рациональные числа

При делении целых чисел друг на друга возникла необходимость расширить множество целых чисел. Выражаясь языком математики: для того, чтобы найти решение уравнение для нужно расширить множество целых чисел до множества рациональных чисел, включив в него обратные числа или . Мы пишем для обозначения множества целых чисел без числа ноль. Для каждого отличного от целого числа существует только один

Понятие обратного элемента нам знакомо. Элемент, обратный числу 3 это число , обратный -7 это . Таким образом, с помощью дробей при можно решить уравнение . Рациональные числа представляются отношением двух целых чисел, числителя и (отличного от ). знаменателя. Они являются, таким образом, упорядоченными парами целых чисел: .

Результат деления рациональных чисел можно записать в виде конечной или периодической десятичной дроби, например и . Черта над последними цифрами обозначает период.

Рациональные числа образуют абелеву группу не только по сложению, но также по умножению (ассоциативный и коммутативный законы: ).

Рациональные числа плотно расположены на числовой оси. Это означает, что в каждом интервале можно найти и перенумеровать бесконечное множество рациональных чисел.

Рис. 2.4: Рациональные числа

Физика, как и другие естественные науки, оперирует рациональными числами, т. к. результаты измерения физических величин не могут быть как угодно точными. Поэтому мы уделили так много внимания операциям с ними.

При указании результатов измерений используются десятичные дроби. Учеными всего мира условлено записывать столько знаков после запятой,сколько было измерено. При указании результатов измерения также сообщается погрешность. Например, постоянная Планка может быть записана в виде: . Эту же величину можно записать и так: Это означает, что значение ( с вероятностью ) лежит внутру интервала: .

Впервые понятие степени встречается в теореме Пифагора: В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах и :

Рис. 2.5: Иллюстрация теоремы Пифагора.

Понятие степени также встречается в

эти формулы стоит знать наизусть несмотря на то, что их несложно вывести.

Бином Ньютона для можно в общем виде записать как

где

так называемый биноминальный коэффициент. Его можно вычислить, используя понятие факториала, например:

или использовать треугольник Паскаля. Треугольник строится следующим образом:

В строке 0 вписывается число 1. В следующей строке ( ) вписываются две единицы - справа и слева. В ( ) справа и слева вписываются единицы, посередине - число, равное сумме расположенных над ним элементов (в данном случае эти элементы - единицы). Числа, заключенные в рамку, иллюстрируют еще один закон. Биноминальный коэффициент находится в ряду на позиции 3.