2 Símbolos y números

2.2 Números

2.2.3 Números racionales

El ser humano se dio cuenta al dividir, que tampoco bastan los números enteros en la vida diaria. Expresado matemáticamente: para poder resolver la ecuación para dentro de un conjunto de número, debemos generalizar los números enteros a los números racionales , al considerar los números inversos o . Utilizamos la escritura para el conjunto de los números enteros sin el elemento cero. Luego, existe para cada número entero distinto de sólo un

Estos conceptos son muy familiares. El inverso del número 3 es , el inverso de -7 es . Luego la fracción para soluciona nuestra ecuación de partida . En general, los números racionales son cocientes de dos números enteros, llamados el numerador y el denominador (que debe ser distinto de ). Por tanto, desde el punto de vista matemático, son pares ordenados de números ordenados: .

 

Los números racionales se dividen en números decimales finitos y periódicos, ejemplo y , donde la barra sobre la última cifra denota el período.

Con esta definición de inverso, los números racionales forman no sólo con respecto a la suma, sino que también con respecto a la multiplicación, un grupo (con ley asociativa, unidad y elemento inverso), que es abeliano debido a la ley conmutativa de los factores .

Los números racionales se localizan densamente sobre la recta numérica, esto es, en cada intervalo se pueden encontrar un incontable número infinito de ellos:

Figura 2.4

Debido a la finitud de la precisión de las mediciones de cada medición física, los números racionales son los números de la física y también de cualquier otra ciencia natural. Por ello hemos visto con detalle sus reglas de cálculo.

Al escribir los resultados de una medición como números racionales, la mayoría en la forma de números decimales, los científicos en todo el mundo han convenido escribir tantos números detrás de la coma como los que se han medido. Así se encuentra en una tabla, por ejemplo, para el cuanto de acción de Planck  . Esta expresión permite escribirse también como: y significa que el valor de se encuentra entre los siguientes valores (con una probabilidad de ).

Como primera aplicación de las potencias mencionamos el teorema de Pitágoras: en un triángulo rectángulo, el cuadrado sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados sobre de ambos catetos y :

Figura 2.5: Figura móvil con paralelogramos coloridos para la visualización del teorema de Pitágoras, a partir de la cual es obvia la demostración geométrica.

A menudo se utilizarán las así llamadas

que se pueden obtener fácilmente, pero que deben ser aprendidas de memoria..

Las fórmulas binomiales son un caso especial (para ) de la expresión general

donde

se denominan coeficientes binomiales. Ellos se pueden calcular ya sea directamente a partir de la definición de 

Ejercicio 2.2: a)      Determine el largo de una diagonal espacial en un dado de lado . Solución b)      Calcule . Solución c)      Calcule y . Solución d)      Calcule Solución y . Solución e)      Muestre que en general se satisface. Solución f)      Demuestre la ley de construcción del triángulo de Pascal: . Solución