3 Sucesiones y series

3.5 Series

Después de haber estudiado los valores límites de sucesiones de números, podemos aplicar de inmediato este nuevo conocimiento a objetos matemáticos que aparecen a menudo en física, esto es, sumas infinitas , que serán llamadas series:

Éstas se necesitarán una y otra vez en interesantes problemas físicos: cuando por ejemplo deseemos sumar la energía electrostática de una cadena de un número infinito de cargas puntuales equidistantes y que alternan su signo (este es un modelo simple, pero sorprendentemente bueno, de un cristal de iones unidimensional), nos enfrentaremos a la suma infinita de los miembros de la serie armónica alternante (F7): la serie . ¿Cómo se suma esta serie?

Las series son sucesiones, cuyos miembros son sumas finitas de números reales: La definición de una

conduce a las series a partir de las sucesiones, que ya hemos tratado anteriormente.

En particular, una serie es convergente y tiene el valor , cuando la sucesión de sus sumas parciales (no de sus sumandos !!) converge: :

También, el múltiplo de una serie convergente y  la suma y la diferencia de dos series convergente son convergentes.

Los pocos ejemplos clásicos de series, que son necesarios para observar lo más importante, los obtenemos a partir de la suma por trozos de nuestras sucesiones clásicas.:

La serie (R1) que se obtiene de las sumas parciales de la sucesión (F1) de números naturales: es claramente divergente.

La serie (R2) de los miembros de la sucesión alternante (F2) salta siempre entre y y por lo tanto tiene dos puntos de acumulación y luego ningún límite.

También, la "serie armónica" (R3) proveniente la sucesión armónica, esto es, de la sucesión , es divergente. Luego, el criterio (necesario) de Cauchy no se satisface:

Si elegimos por ejemplo y para observamos que el trozo de la serie compuesto de miembros:
, mientras que para convergencia necesitaríamos  .

Su variante alternante (R7), construida a partir de la sucesión (F7), es nuestro ejemplo físico de más arriba y converge: ( , como mostraremos más adelante). Debido a esta diferencia entre series con miembros positivos y alternantes, es apropiado introducir un nuevo concepto: Una serie se llama absolutamente convergente si la serie de sus valores absolutos converge.

Se puede entender fácilmente que para una serie sea absolutamente convergente, los sumandos se pueden reordenar sin tener efecto sobre el límite. Dos series absolutamente convergentes se pueden multiplicar término a término para obtener otra serie absolutamente convergente.

Para la convergencia absoluta los matemáticos han desarrollado varios criterios de suficiencia, los llamados criterios de mayorantes, que usted estudiará más detalladamente en un curso de Análisis:

Muy a menudo la "serie geométrica" (R6): , que aparece de la sucesión geométrica (F6) , sirve como mayorantes. Para calcularlos, nos beneficiamos de la primera para obtenida de la suma geométrica :

que significa que es convergente para y divergente para .

La serie del inverso del factorial de los naturales (R4) merece ser examinada en mayor detalle :

Primero, nos damos cuenta que la sucesión de las sumas parciales aumenta monótonamente: .

Para obtener una cota superior, , la estimamos por medio de la suma geométrica mayorante con :

Dado que sucesión de sumas parciales  , monótonamente creciente, es acotada por arriba por, el Teorema de Bolzano y Weierstrass nos garantiza la convergencia. Aun no conocemos el valor límite. Este límite es en realidad completamente nuevo, esto es, un número irracional. Lo llamamos , de modo que el número , después de la convención suplementaria , se define por la siguiente serie que comienza en :

Para obtener el valor numérico de , primero calculamos los miembros de la sucesión cero (F4) :

y sumamos las sumas parciales:

Si observamos la convergencia rápida, podemos imaginar fácilmente que, después de un cálculo corto, obtenemos el siguiente resultado para el valor límite:


.

Por medio de estas consideraciones, hemos obtenido una primera visión acerca de los procedimientos de límite y algunas de las sucesiones y series importantes para las ciencias naturales, con sus límites, lo que nos será de gran ayuda en el futuro.