4 Функции

4.2 Основные функции

4.2.3 Показательные функции

При возведении в степень показатель (натуральное число ) определяет, сколько раз основание (вещественное число) должно быть умножено на самого себя:

Эта операции удовлетворяет следующим правилам:

Для отрицательного показателя по определению , для показателя равного нулю принято: . Таким образом множество показателей степени расширяется до множества целых чисел .

Показательной функцией является функция, в которой показателем является вещественное число : где . Основание показательной функции может быть только положительным числом.

Для всех естественных наук важную роль играет т.н. «натуральная» показательная функция, показателем которой является иррациональное число (см. раздел 3.5)

График этой функции демонстрирует быстрое возрастание:

Рис. 4.8: График показывает увеличение количества клеток с постоянной скоростью деления.

В физике также часто встречается функция , (например, при изучении процессов распада и затухания). С помощью этой функции определяется количество радиоактивно распадающегося вещества в зависимости от времени: . Здесь количество ядер распадающегося вещества в момент времени , а постоянная связана с т.н. периодом полураспада радиоактивного вещества.

Рис. 4.9: Функция (описывающая, например, радиоактивный распад)

В глвае 6 мы познакомимся с методом вычисления (с желаемой точностью) значения функции при любом значении переменной с помощью элементарных арифметических операций сложения и умножения.

Еще одна важная функция, связанная с экспоненциальной – гиперболическая показательная функция

Она также называется цепной линией, так как цепь, подвешенная на двух опорах, повторяет график этой функции.

может быть легко вычислен по формуле:

Аналогично тригонометрическим функциям, частным двух вышеназванных функций является

и

Следующий график объединяет гиперболические функции.

Рис. 4.10: Гиперболические функции