4 Funciones

4.2 Funciones: Aspectos Básicos

4.2.3 Funciones exponenciales

Al potenciar hemos introducido hasta ahora sólo números naturales como exponentes, que dicen cuántas veces aparece la base real como factor:

y se cumplen las reglas de cálculo

Luego, hemos incluido exponentes negativos a través de la definición y por medio de la convención hemos expandido el conjunto de los exponentes a la totalidad de las números enteros ..

Se llega a la clase de funciones exponenciales cuando, en vez de los números , permitimos números reales como exponentes: con , y nos restringimos a una base de números reales positivos , sin cambiar las reglas de cálculo para potencias, esto es con los siguientes

De importancia central para todos los científicos es la función exponencial natural, con el número irracional   (definido en la  sección 3.5) como base

cuyo gráfico, con su aumento rápido característico, se puede medir directamente a partir de la siguiente figura:

Figura 4.8: Construcción de la función exponencial
por ejemplo en el aumento del número de células con una rapidez de mitosis constante.

Para los físicos, la función inversa también es de gran importancia para todos los procesos de absorción y de decaimiento. También es accesible directamente en mediciones, por ejemplo, en un decaimiento radiactivo, que determina en cada instante la cantidad de materia que aun no ha decaído: , donde es el número de núcleos al tiempo y su vida media:

Figura 4.9: Función exponencial inversa, por ejemplo, en decaimiento radiactivo

También, conoceremos en el Capítulo 6 métodos para las funciones exponenciales que nos permitirán calcular el valor de la función para cualquier valor de la variable , por medio de operaciones elementales de adición y multiplicación.

Las siguientes combinaciones de ambas funciones exponenciales naturales han mantenido su importancia debido a nombres especiales que más tarde comprenderemos de verdad: el

también llamada catenaria (la función que representa la forma que toma una cadena que cuelga de sus extremos en el campo gravitatorio constante de la Tierra), y el

con la relación

Además, el cociente de ambas conduce análogamente a las funciones trigonométricas a la

y la

La siguiente figura muestra los gráficos de estas funciones, que se resumen bajo la notación de funciones hiperbólicas.

Figura 4.10: Funciones hiperbólicas