4 Функции

4.8 Обратные функции

4.8.3 Логарифмы

Путем зеркального отражения графика показательной функции относительно биссектрисы первого координатного угла мы получаем график натурального логарифма , функции обратной к экспоненциальной. Натуральный логарифм определён в области и является строго возрастающей функцией. Рост натурального логарифма, однако, замедляется с увеличением аргумента x.

Рис. 4.22: Показательная функция и обратная ей функция - натуральный логарифм

Свойства натурального логарифма видны из его графика: и . Используя правила вычисления степеней, мы можем вывести правила обращения с натуральными логарифмами:

Мы познакомились с понятиями натуральной показательной функции и натурального логарифма. Теперь мы можем дать определение общей показательной функции:

и обратная ей функция общий логарифм

для (в том числе и ) является строго монотонно возрастающим, для монотонно убывающим.

Рис. 4.23: Три важнейших логарифма с основанием: 2, , и 10

Правило вычисления для общей логарифмической функции с постоянным основанием :

Кроме натурального логарифма с иррациональным числом в основании существуют два других часто употребляемых логарифма: двоичный (англ.: binary logarithms ) и десятичный (или Бригсов) логарифм .

Пересчёт между логарифмами с различными основаниями деляется по следующей формуле:

(например, Для и :

Данная формула доказывается следующим образом: при трехкратном применении тождества

мы получаем . Равенство выражений между собой приводит к равенству показателей, что и завершает наше доказательство.

Можно также дать определение общей степенной функции при помощи натуральной показательной функции и натурального логарифма и :

Но пользоваться ею мы будем редко:

Рис. 4.24: Степенные функции

Важными для физических приложений являются функции обратные гиперболическим функциям , и , которые мы построили из натуральных показательных функций. Они называются ареа-функциями и могут быть выражены с помощью натуральных логарифмов:

Рис. 4.25a: Гиперболический синус и обратная ему функция: y = arsinh x

Рис. 4.25b: Гиперболический косинус и обратная ему функция: y = arcosh x

Рис. 4.25c: Гиперболический тангенс и обратная ему функция: y = artanh x

Рис. 4.25d: Гиперболический котангенс и обратная ему функция: y = arcoth x