5 Diferenciación

5.5 La técnica de la diferenciación

5.5.2 Reglas simples de diferenciación: Funciones básicas

En la práctica, uno se encuentra en pocas ocasiones con la tarea de diferenciar solo alguna de las funciones básicas, sino que expresiones más o menos complicadas compuestas de distintas funciones, por ejemplo con constantes reales , , , y .

Es por eso que en esta sección componemos las reglas que nos permiten construir cocientes diferenciales de expresiones complicadas a partir de derivadas conocidas de componentes individuales. Como ejemplos aplicados consideramos primero las funciones de nuestro conjunto básico y luego, a partir de ellas, otras funciones interesantes e importantes para la ciencia. Los resultados los incluimos en una TABLA, que usaremos más tarde también al realizar integraciones.

A continuación denotamos por y a dos funciones diferenciables y , , , ... constantes reales. Las demostraciones a partir de la definición de límite las puede realizar usted mismo o también verlas en las "Notas":

Debido a la obvia homogeneidad (un factor constante puede salir de la operación de límite) del límite , comenzamos con la conocida regla de suma y de inmediato con la

linealidad:

Esto es, el cociente direrencial de una combinación lineal de funciones es igual a la combinación lineal de los cocientes diferenciales.

Demostración

De aquí, por ejemplo, se obtiene a partir de la regla de potencias el cociente diferencial de cualquier polinomio, por ejemplo de grado -ésimo

, como un polinomio de grado  -ésimo:

. Caso especial es .

También, la regla del producto es familiar a muchos de ustedes:

regla del producto:

El cociente diferencial del producto de dos funciones diferenciables y es el cociente diferencial del primer factor por el segundo factor, más el cociente diferencial del segundo factor por el primer factor:

Demostración

Ejemplo

También necesitamos la regla del inverso:

regla del inverso:

para

El cociente diferencial del inverso de una función diferenciable que no se anula se obtiene dividiendo el cociente diferencial de la función por el negativo del cuadrado de la función:

Demostración

Con ello es posible, por ejemplo, extender la regla de potencias a exponentes negativos enteros  , como arriba, pero ahora para .
También podemos ahora diferenciar la función exponencial : .
Y con ello obtenemos, usando la propiedad de linealidad de las funciones hiperbólicas:
y análogamente

A partir de la regla del producto y de la regla del inverso obtenemos la regla del cociente:

regla del cociente:

para

El cociente diferencial del cociente de dos funciones diferenciables es el cociente diferencial del numerador por el numerador, menos el cociente diferencial del denominador por el numerador, dividido por el cuadrado de la función denominador, la que no debe anularse.

Demostración

Con estas reglas podemos determinar el cociente diferencial de todas las funciones racionales , esto es, el cociente de dos polinomios y . También podemos ahora diferenciar la tangente y la cotangente: y , o bien, las correspondientes funciones hiperbólicas: y .

Demostraciones

Con esto tenemos los cocientes diferenciales de todas las funciones de nuestro conjunto básico y ponemos la información en una TABLA, que debe resumir todos nuestros cocientes diferenciales:

TABLA   DE   DIFERENCIACIÓN
Línea			Observaciones:
1
2			primero solo para
3
4
5
6			,
7			,
8
9
10
11
12
13
14
15
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