5 Дифференциальное исчисление

5.5 Правила дифференцирования

5.5.3 Цепное правило. Обратные функции

В ТАБЛИЦЕ есть незаполненные поля: для того, чтобы дифференцировать встречающиеся в физике функции, в дополнение к простым, в большинстве случаев известным со школы, правилам, нужно применить два других правила дифференцирования:

В дифференцировании сложных функций нам поможет цепное правило: Оно дает нам дифференциальное отношение сложной функции из дифференциального отношения подставленной "внутренней" функции и "внешней" функции , в которую подставляется переменная у . Применяя обозначения Лейбница, мы получим произведение из так называемой "внешней" и "внутренней" производной :

в написании Лейбница или написании Легранжа:

После того, как мы познакомились с термином дифференциал, такой результат кажется нам тривиальным, т.к. он тривиально получается просто введением . Тем не менее, мы рассмотрим доказательство, чтобы продемонстрировать преимущества дифференциала, с помощью которого становится особенно простым:

Сначала для "внутренней" функции с ,
а затем и для "внешней" функции с ,
после подстановки получается следующее: , дифференциал в предельном значении получаем

Следующий пример наглядно показывает преимущества формы написания Лейбница:

Искомой будет первая производная для :

так как с , с с с .

В качестве следующего примера выступает

Это соотношение доказывается путем введения : .

Правило дифференцирования обратной функций определяет производную обратной функции где определенной для дифференцируемой взаимно-однозначной функции с , производная которой не обращается в ноль на множестве :

Мы получим данную формулу, используя обозначения Лейбница: для этого вычисляем производную функции по переменной , используя цепное правило:

и, таким образом, получаем, после деления на , искомый результат.

Вооружённые этими правилами, мы можем рассчитать все необходимые производные. Большинство доказательств можно найти в дополнениях:

Для начала рассмотрим функцию корня степени m:

как обратную функцию от для , т.к. , это значит, что наше правило степеней (*) действительно и для обратных показателей.

Затем, обобщим для

Это значит, что правило степеней (*) действует и для произвольных рациональных показателей.

Затем рассмотрим

выступает как функция обратная показательной функции для .

Справедливым является также следующее соотношение: . Так как для .

Теперь, давайте рассмотрим

Это значит, наше правило степеней (*) действует универсально также для произвольных вещественных показателей.

Также для

для произвольного вещественного основания логарифма мы получаем производную, которая является функцией обратной общей показательной функции :

Список важных производных мы заканчиаем циклометрическими функциями (т.е. функциями, обратными гиперболическим):

Для

Аналогично для

Для

Аналогично для

Обратными гиперболическими функциями мы завершаем нашу таблицу производных:

Для

и

Для

и

Все полученные результаты собраны в большой таблице производных, к которой мы еще не раз будем обращаться в дальнейшем: