6 Ряд Тейлора

6.4 Примеры основных функций

6.4.4 Прочие ряды Тейлора

На основе полученных рядов Тейлора, легко получить большое количество новых разложений, приняв во внимание ранее изученный материал об операциях с рядами. В качестве примера линейной комбинации двух рядов Тейлора, давайте рассчитаем разложение гиперболического синуса:

Неожиданно, этот ряд является таким же, как ряд Тейлора тригонометрического синуса, только без перемены знака, что и объясняет такое название.

Следующий пример показывает, как получить ряд Тейлора произведения двух функций из ряда Тейлора сомножителей. Для этого просто нужно умножить оба ряда, а результат сортировать по степеням:

Для сложных функций, при которых ряды Тейлора внутренней и внешней функции известны, на много проще подставить одну функцию в другую, чем непосредственно вычислять производные, например,