Con estas pocas series de Taylor obtenemos fácilmente un número grande de otras expansiones, cuando consideramos lo que hemos aprendido anteriormente sobre series . Como ejemplo de una combinación lineal de dos series de Taylor calculamos la expansión del seno hiperbólico:
Sorpresivamente, esta es justo la serie de Taylor de la función seno, pero con signos alternantes, lo que da luz al origen del nombre de la función.
Un siguiente ejemplo muestra cómo se obtiene la serie de Taylor del producto de dos funciones a partir de la serie de Taylor de los factores, en la cual simplemente se multiplican ambas series y el resultado se orden según potencias:
También, en el caso de funciones implícitas, en cuyo caso se conocen la series de Taylor de las funciones interna y externa, a menudo es más simple reemplazar esas expansiones que calcular directamente el cociente diferencial: por ejemplo
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Ejercicio 6.5: Calcule la serie de Taylor de las siguientes funciones:
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,
a partir de la diferenciación término a término de la serie
geométrica. 
,
usando la división de series 
,
directamente del cálculo de las derivadas 
,
también directamente.