7 Интегральное исчисление

7.4 Основная теорема дифференциального и интегрального исчисления

7.4.3 Интегрирование производной

После того, как мы научились дифференцировать интеграл, рассмотрим обратный процесс - интегрирование производной. Мы исходим из непрерывной функции , т.е. из дифференциального уравнения первого порядка для . Мы хотим проинтегрировать это дифференциальное уравнение на интервале . Применяя определение интеграла, получим

где узлы лежат внутри интервалов длины . По теореме о среднем значении дифференциального исчисления, наклон в узле может быть заменен на наклон секущей, т.е. дифференциальное отношение может быть заменено на разностное отношение для граничных точек интервала:

В полной записи это выглядит следующим образом:

Мы видим, что все промежуточные члены попарно убираются, кроме второго и предпоследнего членов, которые уже больше не зависят от , т.е. предельный переход их не затрагивает:

Таким образом получается

И в этом смысле, интегрирование является операцией обратной дифференцированию.

Например, наш результат, с таким трудом полученный из определения интеграла: , теперь легко следует из вычисления производной .

Вторая часть основной теоремы является для нас решающим шагом на пути к решению проблемы интегрирования: Теперь мы можем сразу рассчитать все определенные интегралы от всех функций, которые находятся во второй колонке в таблице производных из 5-й главы. Теперь мы читаем ТАБЛИЦУ в обратном направлении - справа налево, и дополняем заголовки следующим образом:

Для нашего примера из дополнения мы используем вторую строку для .,

Другой пример из этой строки с пределами и дает . Вообще говоря, для произвольного вещественного числа следует:

Этот результат мы записали третью строку ТАБЛИЦЫ.

Из четвертой строки находим:

из двенадцатой строки:

и также, аналогично и многие другие интегралы.