Con este primer éxito vamos de inmediato a la ecuación más general
y encontramos como solución
.
A un número real multiplicado por la unidad imaginaria
lo llamamos un
con
Si deseamos considerar ecuaciones aún más generales, ejemplo
,
obtenemos como solución
,
esto es, de la combinación lineal de un número real y un número imaginario. A
ésta la llamamos en general
con
Luego un número complejo es un par ordenado de números reales definidos sin ambigüedad: la parte real pura se denomina
y aquella parte con el factor
se llama
Esta separación entre parte real y parte imaginaria es clara, al
contrario de lo que sucede con los
números racionales, que también introducimos anteriormente como "pares
ordenados" de números enteros. Sin embargo en ese caso identificamos clases
de equivalencia completas:
dado que la "cancelación" debería ser posible sin cambiar los números:
La identidad
de dos números complejos
y
significa la igualdad de ambas partes reales e imaginarias:
y
,
esto es,
incorpora dos ecuaciones reales
y
.
Como caso especial, un número complejo se anula sólo si sus partes real e imaginaria se anulan:
y
.
Los números reales
son
un subconjunto del conjunto de los números complejos:
,
es decir todos aquellos con
.
A estos añadimos los números imaginarios puros
como nuevos elementos.Antes de comenzar con las reglas de cálculo deseamos tener una perspectiva acerca de los métodos que nos permiten visualizar los números complejos: