La función compleja por lejos más importante es la función exponencial natural. Ya en la Sección 8.1.5 , por medio de la fórmula de Euler, hemos visto su definición para variables imaginarias puras y ahora podemos generalizar de manera muy fácil para variables complejas arbitrarias:
es decir, para el valor absoluto:
y para el argumento:
.
Mientras que la función exponencial crece rápidamente como función de su
parte real, como hemos visto
antes , es periódica y de período
En su dependencia en la parte imaginaria de su variable.
-
periódica:
con
El radio de convergencia de la serie de Taylor es, como ya hemos visto anteriormente, infinito.
para
aún se cumple.
Para poder hacernos una imagen de la función, calculamos primero nuevamente algunos puntos imagen:
Luego observamos que las rectas verticales
se proyectan a círculos
:
la recta
se transforman en el círculo
,
aquella con
en el círculo
y la recta
en el círculo con
.
Las rectas verticales
se transforman en rayos
,
y de hecho la recta
en el rayo
,
la recta
en
,
etc.
A partir de estos resultados vemos que la función exponencial proyecta una
franja horizontal del plano z, con altura
,
por ejemplo el llamado intervalo fundamental
,
sobre el plano w, cortado entre los puntos de ramificación
e
( por ejemplo, a lo largo del eje real negativo). El plano z completo se
proyecta por lo tanto sobre una superficie Riemanniana con infinitas hojas.
Para cada hoja, la parte superior se conecta continuamente a lo largo del
corte con la parte inferior de la hoja de más abajo, y la parte superior de
la última hoja "a través de todas las otras conexiones" con la parte
inferor de la primera. La siguiente figura le puede ayudar a realizar una
imagen mental del efecto de la función.
