8 Комплексные числа

8.3 Функции комплексной переменной

8.3.6 Тригонометрические функции

После того, как мы рассмотрели показательную функцию, давайте рассмотрим тригонометрические функции, косинус и синус, которые мы легко можем получить из показательной функции при помощи формулы Эйлера, или же мы можем определить их чрез степенные ряды:

Оба ряда сходятся во всей плоскости. Как мы знаем, косинус и синус являются

Теоремы сложения из раздела 4.2.2: :

и соотношения , и выполняются также для произвольных комплексных чисел :

Для частного случая отсюда получаем

При этом гиперболические функции определены как и ранее:

Отсуда следует, что и в комплексной области не являютя ограниченными, как это было для действительных значений аргумента, а возрастают как гиперболические функции для мнимых значений аргумента.
В отличии от показательной функции, в даном случае вертикальные полосы в z-плоскости с шириной , в частности, фундаментальная область , отображаются на разрезанную между и двулистную w-плоскость.

На примере комплексной функции синус нам хотелось бы продемонстрировать разнообразие возможностей представления, которые имеются в нашем распоряжении. В силу свойств симметрии достаточно рассмотреть в квадрате и :

Следующие изображения показывают линии уровня действительной части , мнимой части (пунктирная линия), модуля и аргумента (также изображенны пунктиром) функции в данной кадратной области значений z.

Рисунок 8.13 a): Линии уровня функции в области и ,



Рисунок 8.13 b): Линии уровня функции в области и ,



Рисунок 8.13 c): Линии уровня функции в области и ,



Рисунок 8.13 d): Линии уровня функции в области и

Обычно их изображают вместе на диаграмме в виде сети линий уровня, как показано на следующих рисунках:

                  
Рисунок 8.13 e): Сеть линий уровня для и ,



Рисунок 8.13 f): Сеть линий уровня для и

Вам потребуется несколько поупражняться для того, чтобы по изображению линий уровня представить себе саму функцию. Это получится лучше, если области между линиями окрасить в различные оттенки серого, соответствующие среднему значению функции в данной области; от почти черного цвета для малых значений функции и до белого для больших. Такой способ представления показан на рисунках от g) до j). Мы можем более сно представить, как, например, значения функции ведут себя с ростом : а именно, возрастают вблизи , и убывают вблизи . Также и резкое возрастание и с увеличением ра сстояния от вещественной оси становится более явным.

Рисунок 8.13 g): Сеть линий уровня в серых тонах для ,



Рисунок 8.13 h): Сеть линий уровня в серых тонах для ,



Рисунок 8.13 i): Сеть линий уровня в серых тонах для ,



Рисунок 8.13 j): Сеть линий уровня в серых тонах для

Еще более красивые и ясные изображения можно получить, если для характеристики значений функции применить цветную шкалу, как, например, на географических картах: синие цвета обозначают глубины морей, различные оттенки зеленого используютс для равнин, а темнеющие оттенки коричневого обозначают горы возрастающей высоты. В компьютерной программе MATHEMATICA, при помощи которой построены рисунки от k) до n), используются цвета радуги, которые соответствуя частоте света, возрастают от оттенков красного (цвета магмы) для малых значений функции, до небесно голубого для ее больших значений. Эти изображения дают более ясное впечатление о структуре рассматриваемого "горного массива значений функции".

Рисунок 8.13 k): Радужное представление сети линий уровня функции ,



Рисунок 8.13 l): Радужное представление сети линий уровня функции ,



Рисунок 8.13 m): Радужное представление сети линий уровня функции ,



Рисунок 8.13 n): Радужное представление сети линий уровня функции

Здесь особенно хорошо видно линейное возрастание значений от при до при .

Также и в радужном представлении, показанные при помощи различных цветов, линии уровня могут быть собраны в сеть путем добавления (пунктирных) линий уровня второй функции (которые, однако, уже не могут быть характеризованы при помощи цветов). Это показано на следующих рисунках:

                  
Рисунок 8.13 o): Радужная сеть линий уровня для и



Рисунок 8.13 p): Радужная сеть линий уровня для и

Еще более наглядное представление, чем дают радужные двухмерные картинки, можно получить из перспективного представления значений функции, которое предлагают современные компьютерные графические программы. Это показано на рисунках ниже:

Рисунок 8.14 a): Рельеф значений функции с координатной сеткой в x-y плоскости над выбранным квадратом и ,



Рисунок 8.14 b): Рельеф значений функции с координатной сеткой в x-y плоскости над выбранным квадратом и ,



Рисунок 8.14 c): Рельеф значений функции с координатной сеткой в x-y плоскости над выбранным квадратом и ,



Рисунок 8.14 d): Рельеф значений функции с координатной сеткой в x-y плоскости над выбранным квадратом и

Чтобы продемонстрировать эффект смены знака, мы представляем Вам при помощи программы MATHEMATICA четыре интересующие нас функции для большой прямоугольной области и на вращающихся картинках:

Рисунок 8.15 a): Вращающийся рельеф функции с x-y-сетью над прямоугольной областью: и ,



Рисунок 8.15 b): Вращающийся рельеф функции с x-y-сетью над прямоугольной областью: и ,



Рисунок 8.15 c): Вращающийся рельеф функции с x-y-сетью над прямоугольной областью: и ,

Если смотреть на эти "горы" вдоль положительной мнимой оси, то можно четко увидеть вещественную функцию при вертикальном разрезе над вещественной осью . Если смотреть вдоль положительной вещественной оси, то можно распознать вещественную функцию над мнимой осью, и даже различимой становится вещественная функция как верхняя огибающая поверхность над прямой .

Рисунок 8.15 d): Вращающийся рельеф значений функции с x-y-сетью над прямоугольной областью: и

При сдвиге начала координат на в направлении вещественной оси, эти же рисунки описывают рельеф комплексной функции косинус.