8 Números complejos

8.3 Funciones de una variable compleja

8.3.6 Funciones trigonométricas

Después que hemos investigado la función exponencial, damos una corta mirada a las funciones trigonométricas, coseno y seno,  que con ayuda de la Fórmula de Euler obtenemos fácilmente de la función exponencial o por medio de las series de potencias que las definen:

Ambas series convergen en todo el plano. Como ya sabemos, el coseno y el seno son

Como nuestros viejos teoremas de adición trigonométricos de la  Sección 4.2.2: :

también se satisfacen , y para variables complejas arbitrarias :

En el caso especial de se obtiene de estas ecuaciones con

La definición de las funciones hiperbólicas es  como  antes:

A partir de aquí se observa que y en los complejos ya no son funciones acotadas, sino que para partes imaginarias grandes crecen como las funciones hiperbólicas.
A diferencia de la función exponencial, franjas verticales del plano z con ancho , por ejemplo el intervalo fundamental con , se proyecta al plano w de dos hojas cortado entre  y .

En el caso de la función seno compleja demostraremos una amplia variedad de posibilidades de representación que están a nuestra disposición. Debido a las propiedades de simetría, es suficiente considerar sobre el cuadrado y :

Las siguientes figuras muestran curvas de nivel para la parte real , la parte imaginaria (segmentada), el valor absoluto y el argumento (también segmentada) de la función imagen sobre el cuadrado

 

Figura 8.13 a): Representación de curvas de nivel para sobre el cuadrado elegido y ,



Figura 8.13 b): Representación de curvas de nivel para sobre el cuadrado elegido y ,



Figura 8.13 c): Representación de curvas de nivel para sobre el cuadrado elegido y ,



Figura 8.13 d): Representación de curvas de nivel para  sobre el cuadrado elegido y

Usualmente, estas representaciones se colocan juntas de a pares en un único diagrama para formar una red de curvas de nivel como hemos hecho en las siguientes dos figuras:

                  
Figura 8.13 e): Red de curvas de nivel para y ,



Figura 8.13 f): Red de curvas de nivel para y sobre el cuadrado

Requiere de algún esfuerzo obtener una impresión de la función representada a partir de las curvas de nivel de los puntos imagen. Esto se logra en mejor forma si, correlacionado con el valor medio de la función en esa región, las áreas entre las curvas se pintan en tonos grises sobre una escala que se extiende desde el negro, para pequeños valores, hasta el blanco, para valores grandes. Este tipo de representación se demuestra en las figuras g) hasta la j). Así, la parte imaginaria  puede ser imaginada en mucho mejor forma como los valores crecientes de , por un lado crecen para   y por otro lado decrecen para . Así también, quedará claro el crecimiento violento de y a medida que aumenta la distancia desde el eje real.

Figura 8.13 g): Representación de curvas de nivel en tonos de gris para sobre el cuadrado,



Figura 8.13 h): Representación de curvas de nivel en tonos de gris para sobre el cuadrado,



Figura 8.13 i): Representación de curvas de nivel en tonos de gris para sobre el cuadrado,



Figura 8.13 j): Representación de curvas de nivel en tonos de gris para sobre el cuadrado

Obtenemos figuras más impresionantes si usamos una escala de colores para que caracterizar las alturas relativas, como se hace por ejemplo en mapas geográficos, con azul oscuro para los océanos profundos, diferentes tonos de verde representando las tierras bajas, el color beige y finalmente se hace cada vez más oscuros para las montañas. En el programa computacional MATHEMATICA usado aquí en las figuras  k) hasta la n), se usan los colores del arco iris para representar funciones de altura de acuerdo a la frecuencia de la luz. Colores rojos (de magma) representan los valores menores y colores azul (cielo) se usan para valores funcionales mayores. Por medio de figura obtenemos una impresión significativa de la estructura de los "valores funcionales de montaña" considerados.

Figura 8.13 k):  Representación de curvas de nivel usando colores del arco iris para sobre el cuadrado,



Figura 8.13 l): Representación de curvas de nivel usando colores del arco iris para sobre el cuadrado,



Figura 8.13 m): Representación de curvas de nivel usando colores del arco iris para sobre el cuadrado,



Figura 8.13 n): Representación de curvas de nivel usando colores del arco iris para sobre el cuadrado

Se observa aquí particularmente bien el incremento lineal de la fase desde en hasta en .

También, con esta clase de representación se pueden nuevamente completar a una red las curvas de nivel de una variable, visualizadas con colores, mediante el uso de curvas de nivel (segmentadas) de una segunda variable, la cual sin embargo no puede ser representada por colores. Este hecho se ilustra en las siguientes dos figuras:

 

                  
Figura 8.13 o): Representación de curvas de nivel usando colores del arco iris para y sobre el cuadrado



Figura 8.13 p): Representación de curvas de nivel usando colores del arco iris para y sobre el cuadrado

Sin embargo, podemos obtener una impresión más plástica que estas proyecciones bidimensionales si miramos las figuras de los valores funcionales en perspectiva, ofrecidas por programas de dibujo de computadoras modernas, como se muestra en las siguientes figuras:

Figura 8.14 a): Relieve en perspectiva de los valores funcionales de con una red x-y sobre el cuadrado elegido y ,



Figura 8.14 b): Relieve en perspectiva de los valores funcionales de con una red x-y sobre el cuadrado elegido y ,



Figura 8.14 c): Relieve en perspectiva de los valores funcionales de con una red x-y sobre el cuadrado elegido y ,



Figura 8.14 d): Relieve en perspectiva de los valores funcionales de con una red x-y sobre el cuadrado elegido y

n:

Figura 8.15 a): Relieve en perspectiva, posible de rotar, de los valores funcionales de con una red x-y sobre la región rectangular: y ,



Figura 8.15 b): Relieve en perspectiva, posible de rotar, de los valores funcionales de con una red x-y sobre la región rectangular: y ,



Figura 8.15 c): Relieve en perspectiva, posible de rotar, de los valores funcionales de con una red x-y sobre la región rectangular: y ,

Figura 8.15 d): Relieve en perspectiva, posible de rotar, de los valores funcionales de con una red x-y sobre la región rectangular: y

Después de trasladar el origen por  en la dirección del eje real, estas figuras describen el relieve de la función coseno compleja.