9 Векторы

9.1 Евклидово трехмерное пространство

9.1.4 Преобразования системы координат

Надеемся, что Вы заметили, как произвольно мы обошлись с выбором системы координат. Так как умело выбранная система координат может быть чрезвычайно удобной для каждодневной работы физика, а произвольность при выборе и независимость результатов физических измерений от этого выбора имеют огромное значение, нам хотелось бы более подробно рассмотреть, что случилось бы, если бы мы сделали другой выбор:

В практическом смысле особенно интересными являются четыре типа преобразования системы координат. Для каждого случая мы выбрали простой, но типичный пример:

1) ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС (ТРАНСЛЯЦИЯ), например, на расстояние (отрезок) 1 см в направлении оси 3:

В первую очередь нас интересует произвольность при выборе начала координат: как выглядели бы координаты точки , если бы мы вместо точки выбрали бы другую точку в качестве нулевой точки, например, например, , которая смещена на расстояние в положительном направлении вдоль оси 3?

Рисунок 9.4: Параллельный перенос на расстояние 1 см в положительном направлении оси 3

Глядя на рисунок, мы сразу определяем, что, для чисел выполняются соотношения: , тогда как и остаются неизменными, так что:

Этот результат можно легко обобщить для параллельного переноса на другие расстояния и в других направлениях; мы не станем здесь останавливаться на деталях.

Вместо этого мы обратимся к другим особенно важным преобразованиям системы координат, при которых начало координат остается неизменным: сперва давайте рассмотрим

2) ПОВОРОТЫ (ВРАЩЕНИЯ), например, на угол вокруг оси 3:

В дополнении к нашей старой системе координат, рассмотрим новую систему координат, которая при остающимся неизменным начале координат повернута на угол по часовой стрелке вокруг оси 3:

Рисунок 9.5: Вращение системы координат на угол в направлении оси 3

Из рисунка видно, что и , тогда как , так что:

например, для получаем: ,

Другие интересные преобразования, при которых начало координат остается неизменным, это

3) ЗЕРКАЛЬНЫЕ ОТРАЖЕНИЯ, например, относительно начала координат (четность).

Достаточно рассмотреть только одно зеркальное отражение, так как любое другое отражение можно составить из данного отражения и подходящих вращений. Рассмотрим отражение относительно начала координат, известное под названием преобразования четности, которое изображено на следующем рисунке:

Рисунок 9.6: Отражение системы координат относительно начала координат

Мы сразу же видим из рисунка, что при этом все координаты меняются на противоположные:

Все отражения, и в частности преобразование четности, имеют примечательное свойство, которое мы можем заметить на рисунке выше: если мы повернем положительную полуось на угол в положительную полуось , вокруг положительной оси , то это вращение уже является не правым вращением, а левым (с движением против часовой стрелки). Это значит, что в результате отражения наша правая система координат стала левой системой координат. Для тех, кто привык использовать правую систему координат, это, конечно, не очень радостная новость, но мы должны научиться жить с этим и находить средства и пути распознавать даже скрытое отражение, если мы хотим остаться в правой системе координат.

В качестве последнего примера возможного преобразования системы координат, давайте рассмотрим

4) АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (ДИЛАТАЦИИ): для всех трех осей на общий множитель, например, 10:

Что-то подобное встречается на практике, когда от измерения длин в сантиметрах (см) мы хотим перейти к измерению в дециметрах (дм). При таком изменении масштаба начало координат остается, разумеется, неизменным, также как и оси координат, только лишь размерные точки будут смещены на оси так, что , т.е. расстояния от начала координат будут увеличены:

Рисунок 9.7: Изменение масштаба системы координат на множитель 10

Если Вы захотите измерить клавиатуру Вашего компьютера не в сантиметрах, а в больших единицах, например, в дециметрах, то, конечно же, Вы получите меньшие числовые меры, а именно:

Подводя итог, можно утверждать, что координаты одной и той же точки , рассматриваемые в разных системах координат, являются различными; а также то, что в будущем при описании физических состояний и процессов нам всегда нужно будет обращать особое внимание на системы координат

До этого момента мы занимались точками в трехмерном евклидовом пространстве, т.е. массу, заряд и т.п. мы можем описать лишь статически, как в "натюрморте". Но действительно интересной физика становится тогда, когда в игру вступает движение.