9 Vectores

9.2 Vectores como Desplazamientos

9.2.2 Vectores

Llamamos a un desplazamiento un vector ( o a veces también un tensor de primer orden ), si suprimimos las posiciones especiales iniciales y finales de un objeto desplazado ,  en el caso que estamos interesados en el "desplazamiento en sí" . En otras palabras, sólo interesan el tamaño del desplazamiento y la dirección, y no importa donde ocurre el desplazamiento.

Debido a la homogeneidad del espacio tridimensional, lo que sin excepción se presupone en física, este concepto es ventajoso para la formulación de leyes físicas con validez universal. Matemáticamente significa que, tal como en la introducción de los números racionales, donde hemos igualado , por ejemplo,  ... , dividimos los desplazamientos en clases de equivalencia e identificamos todos los desplazamientos con la misma distancia y dirección. Para ilustrar esto podemos elegir cualquier representante de la clase si es necesario, por ejemplo el llamado vector de posición, al aplicar el desplazamiento desde el origen .

Después de haber introducido el sistema de coordenadas cartesiano para la descripción de puntos por sus coordenadas en el espacio euclideano tridimensional, la pregunta que aparece es cómo podemos caracterizar los vectores en este sistema de tres ejes coordenados, perpendiculares entre sí. Para ello elegimos arbitrariamente como representante de nuestro vector ( marcado por una pequeña flecha sobre la letra ) un punto de partida , desplazamos éste por una distancia de longitud en en la dirección prescrita y alcanzamos entonces el punto final como se muestra en la figura:

 

Figura 9.8: Componentes de un vector

(Además de las pequeñas flechas sobre las letras o sobre los puntos del representante, otras etiquetas para vectores son letras pequeñas subrayadas, letras en negritas, etc.)

En contraste con un cierto desplazamiento especial de un cierto punto, que tiene que ser etiquetado por seis números reales, un vector está caracterizado solo por tres números reales. Al contrario de las tres "coordenadas de un punto", uno llama a estos tres números reales

Notar que también las ponemos en paréntesis redondos, como las coordenadas de un punto. Para distinguir ambos escribimos las componentes usualmente (como arriba) como una columna, uno bajo la otra en vez de una después de la otra. Si se desea tener las componentes del vector escritas como un punto coordenado, uno debe añadir un superíndice  "T", como una abreviación para "tra n sp uesta " , es decir :

 

Como podemos ver de la figura, las tres componentes de un vector son las longitudes de las tres proyecciones del representante sobre los ejes coordenados o también las coordenadas  del punto final que se alcanzan por el desplazamiento si hubiésemos elegido el origen como punto de partida. En este caso estamos usando el vector de posición como representante : . Al usar estos representantes especiales resulta claro que existe una relación reversible y sin ambigüedades entre la totalidad de los puntos de y el conjunto de vectores del así llamado espacio vectorial. Los matemáticos llaman a esto un   i somorfismo .

 

Debido a que un vector se puede caracterizar sin ambigüedades por sus tres componentes, es decir, por la magnitud de distancia y dos ángulos direccionales, una ecuación vectorial es equivalente a tres ecuaciones para las componentes. Por esta razón la notación vectorial puede ser una manera muy eficiente de escribir:

La magnitud de la distancia trasladada, es decir, la longitud de un vector, se determina a partir de sus componentes de acuerdo a Pitágoras, del mismo modo como lo fue la distancia entre dos puntos a partir de las diferencias de coordenadas:

 

Para hacer completamente claras las típicas diferencias (que existen a pesar del isomorfismo) entre las componentes de un vector   y las coordenadas del punto final del vector que representa el vector posición,  investigamos una vez más qué sucede a las componentes del vector bajo transformaciones del sistema coordenado: