Matrices:

Las matrices de rotación son solo un ejemplo de cantidades con dos índices que son llamadas matrices por lo matemáticos.

Es posible definir reglas de cálculo generalmente para matrices de , es decir, esquemas con filas y columnas, y examinar sus estructuras. Deseamos restringir nuestras consideraciones a matrices cuadradas de , y aun más específicamente a matrices de con elementos reales.

Denotamos las matrices por letras mayúsculas en negritas, por ejemplo . Sus elementos llevan dos índices: el izquierdo denota la fila (horizontal) y el derecho , la columna (vertical) de la matriz:

matriz:

Algunas clases de matrices tiene nombres especiales debido a su importancia:

En particular, matrices diagonales  son de especial importancia, teniendo sólo tres elementos , y a lo largo de la llamada diagonal principal (:desde la izquierda arriba hasta la derecha abajo) diferentes de . La segunda diagonal (:desde la derecha arriba hasta la izquierda abajo) es, comparativamente, mucho menos importante.

matriz diagonal:

Las matrices de rotaciones por un múltiplo de son ejemplos de matrices diagonales: , y .

A la mitad de camino de las matrices diagonales se encuentran las matrices triangulares, que únicamente tiene ceros ya sea por sobre o por debajo de la diagonal principal:

matriz triangular:

También matrices en forma de cajas (diagonales por bloques) son especialmente convenientes para muchos propósitos. En estas matrices, los elementos no nulos ocurren sólo en cajas alrededor de la diagonal principal. Nuestras matrices de rotación y son de este tipo.

matriz en forma de caja:

Una simple operación que puede ser llevada a cabo con cualquier matriz es la transposición: esto significa la reflexión de toda la matriz a trevés de la diagonal principal, o en otras palabras, el intercambio de filas por columnas:

matriz transpuesta:

Existen matrices para las cuales la transposición nada cambia. Ellas se denomina simétricas.

matriz simétrica:

Estas matrices simétricas ocurren muy frecuentemente en física y tiene la ventaja que ellas pueden diagonalizarse por medio de ciertas transformaciones simples.

Como Usted ve inmediatamente, cada matriz simétrica tiene sólo seis elementos independientes.

Si las reflexiones a través de la diagonal principal dan un signo menos, la matriz se denomina antisimétrica:

matriz antisimétrica:

Por supuesto, los elementos diagonales deben anularse en este caso. Claramente, una matriz antisimétrica de tiene sólo tres elementos independientes. Esta es la razón profunda para la existencia de un producto vectorial en tres dimensiones, como veremos pronto en mayor detalle.

Finalmente, mencionamos una cantidad especial de toda matriz: la suma de los elementos a lo largo de la diagonal principal se denomina traza de la matriz:

trace:

Sin embargo, mucho más importante para la física es la multiplicación de dos matrices de que corresponde en el caso de matrices de transformación a dos transformaciones de sistemas coordenados, realizadas una tras la otra:

Se satisface la siguiente:

En la última parte, el símbolo de suma se ha omitido de acuerdo a la convención de suma de Einstein (véase sección 9.2.3.2), dado que dos índice idénticos indican la suma suficientemente bien.

Para calcular el elemento de matriz del producto en la fila z y en la columna s, podemos imaginar que la s-ésima columna (vertical) de la matriz factor en el lado derecho se coloca horizontalmente sobre la z-ésima fila de la matriz factor de la izquierda , se multiplican los elementos término a término y se suman los tres productos resultantes: por ejemplo , luego, en resumen:

Ejercicio 9.10: Multiplicación de matrices Multiplique las siguientes matrices de transformación: a)      y compare con Solución b)      especialmente a compararse con Solución c)      y compare con Solución d)      y compare con . Solución

El descubrimiento más importante al trabajar con el Ejercicio 9.10 es el hecho que en general no se satisface la ley conmutativa para rotaciones y, consecuentemente, tampoco para las matrices que las representan. Usted puede corroborar esto visualmente con cualquier caja de fósforos (cerillas) como se ilustra en la siguiente Figura:

Los ejemplos del Ejercicio 9.10 ya le han  mostrado que en algunos casos excepcionales , la ley conmutativa sí se satisface: todas las rotaciones alrededor de un eje por ejemplo, son conmutables. También, todas las matrices diagonales conmutan entre sí. Esta es la razón para su popularidad. si , la llamada relación de conmutación promete ser una cantidad interesante. Ésta adquirirá gran significado más tarde en Mecánica Cuántica.

Aparte de la conmutatividad, la multiplicación de matrices se comporta como esperado: se satisface una

Ley asociativa : .

Ejercicio 9.11: Ley asociativa para la multiplicación de matrices Verifique la ley asociativa para la rotación de Euler: que nos lleva desde el sistema coordenado fijo en el espacio al sistema coordenado fijo en el cuerpo de un giróscopo rotante. Solución

Una

matriz unidad: determinada unívocamente, con ,

existe independientemente de si Usted multiplica por la izquierda o por la derecha.

Con la

matriz inversa: con

encontramos cierta complicación análoga a la condición  para la división por un número real. Una matriz inversa determinada unívocamente existe sólo para las llamadas matrices no singulares. Estas son matrices cuyo determinante  no se anula: . Los determinantes, la característica más importante de las matrices, serán considerados en una nota extra en la siguiente subsección.

Para nuestras matrices de transformación, sin embargo, esta ligadura no es importante. Para estas matrices, la inversa es simplemente la transpuesta , que existe en cada caso, como hemos visto: los matemáticos llama a estas matrices ortogonales (véase sección 9.8.2) y las inspeccionaremos cuidadosamente más tarde:

matriz ortogonal: o

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