Determinantes:
La característica más importante de las matrices es su determinante. Se utiliza la siguiente notación:
Leibniz dio la siguiente
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definición del determinante:
|
Esto da un número real, esto es, la suma, respectivamente las
diferencias, de los términos, cada uno de los cuales es un producto de tres
elementos de matriz. Los índices de la fila (en el lado izquierdo) son siempre
para
todos los términos, mientras que los índices de la columna (en el lado
derecho) van sobre todas las permutaciones
de estos tres números:
,
,
;
,
,
.
El signo de cada término está fijo por el número de transposiciones (:intercambio
de dos índices) que se necesitan para obtener la consiguiente configuración a
partir de la configuración
.
Las primeras tres configuraciones de arriba pueden obtenerse por un número par
de transposiciones. Ellas obtiene un signo mas, las siguientes tres, obtenidas
por un número impar de intercambios, fueron sustraídas : por ejemplo, en
(impar),
pero
en (par), ....
En el caso de matrices de
obtenemos
seis sumandos para los cuales las permutaciones par se pueden obtener también
por medio de permutación cíclica .
Además de estas definiciones válidas en general, existen varios métodos
diferentes para el cálculo del determinante de una matriz. Aquí,
veremos dos de ellos: primero consideramos la regla de Sarrus válida en
particular para matrices de
:
para obtenerla, escribimos la primera y segunda columnas una vez mas a la
derecha del determinante de interés:
Con este esquema multiplicamos entre sí los elementos en la diagonal
principal
.
A este producto, añadimos el producto de los tres elementos que se encuentran
próximos hacia el lado derecho, en la dirección de la diagonal principal
y
.
De este resultado sustraemos el producto de los elementos en la diagonal
secundaria
y una vez más dos veces los productos de los tres elementos de matriz hacia la
derecha, en la dirección de la diagonal secundaria
y
.Este
procedimiento da el determinante.
Muy a menudo, un método adicional da la respuesta más rápidamente, el
llamado desarrollo con respecto a la primera línea: Debido a
que este es un proceso iterativo, notamos primero que el determinante de una
matriz de
consiste
del producto de dos elementos diagonales
menos el producto de los dos elementos en la diagonal secundaria
.
Exactamente este determinante
se
obtiene después de remover tanto la tercera fila como la tercera columna de
nuestro determinante de
deseado.
Se le llama adjunto y se caracteriza por medio de los índices de los
elementos removidos:
Con la ayuda de estos adjuntos, el determinante de
buscado
puede escribirse de la siguiente forma:
.
Podemos ver inmediatamente que la restricción al desarrollo con respecto a la primera fila no impone limitación, debido a que el determinante tiene muchas propiedades de simetría. Con la ayuda de ellas podemos obtener desarrollos con respecto a otras filas o columnas. Luego, aquí utilizamos el término
Para alcanzar esta notación concisa, a veces resumimos los elementos de
matriz arreglados uno sobre el otro en la forma de los llamados vectores
columna
,
por ejemplo,
con vectores columna:
Los determinantes tienen una seria de características de simetría, que hacen su cálculo y manejo excepcionalmente fácil.
Propiedades de simetría de los determinantes:
a) Un determinante es invariante con recto a transposiciones, i.e. con respecto a reflexiones a través de la diagonal principal:
b) Un determinante permanece invariable cuando a una de sus filas se le agrega una combinación lineal de otras filas, por ejemplo:
c) Un determinante cambia de signo con cada permutación de dos de sus filas: por ejemplo,
d) Los determinantes son homogéneos con respecto a sus filas: para
todo número real
e) Un determinante se anula si los vectores fila son coplanares (: linealmente dependientes; véase sección 9.4.4) o una de las filas es el vector nulo:
f) Un determinante con un número impar de dimensiones permanece invariable al hacer permutaciones cíclicas de sus filas:
.
g) Un determinante con un número impar de dimensiones se anula si la
matriz es antisimétrica
:
.
h) Los determinantes son aditivos si los sumandos difieren sólo en una fila: por ejemplo,
.
i) El determinante de un producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes de ambas matrices factores:
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Ejercicio 9.12: Calcule los siguientes determinantes:
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Ejercicio 9.13: Determinantes de matrices de rotación Calcule los determinantes de
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Ejercicio 9.14: Determinantes de reflexiones Calcule el determinante de la matriz de paridad
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,
y
.
.