9 Векторы

9.2 Векторы как трансляции

9.2.3 Преобразования системы координат

Мы хотим изучить, как изменяются составляющие постоянного вектора , при необходимости представленного как , если систему координат мы подвергнем четырем типичным преобразованиям, которые были рассмотренны в разделе 9.1.4.

Начнем с:

1) ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕНОСА (ТРАНСЛЯЦИЙ): например, на единицу длины в направлении оси 3:

Прежде всего, отметим еще раз произвольность при выборе начала координат: как выглядели бы составляющие нашего вектора, если бы вместо точки мы бы выбрали другую точку, например, в качестве начала координат (нуля), который перенесен на отрезок в положительном направлении 3? Используя полученные из 9.1.4.1 результаты, мы получаем:

Т.к. члены, определяющие изменение координат начальной и конечной точек в результате трансляции сокращаются в разности, мы получаем (ожидаемую из определения вектора), трансляционную инвариантность векторов. Это значит, что произвольный выбор начала нашей системы координат никак не влияет на составляющие вектора.

При этом, также и длина векторов является инвариантной относительно параллельного переноса:

Тем не менее, не все встречающиеся в физике векторные величины и не в каждой физической задаче являются инвариантными относительно переноса. Например, силы, которые действуют на твердое тело с точной приложения вне центра его тяжести, или, например, напряженность неоднородного электрического поля. Тогда в физике говорят о "связанных векторах". В таких случаях, прежде чем применять векторную алгебру, которую мы будем рассматривать в следующий разделах, следует хорошенько подумать, как следует применять полученные результаты.

В качестве второго примера рассмотрим

2) ПОВОРОТЫ (ВРАЩЕНИЯ), например, на угол вокруг оси 3:

Оставляя начало координат неизменным, , рассмотрим, в дополнении к нашей старой системе координат , как показано на рисунке 9.5, новую систему координат , которая, допустим, повернута на угол в положительном направлении по часовой стрелке вокруг оси 3. Тогда получаем (например, для представителя ):

Для закона, по которому рассчитываются новые координаты из старых, в математике существует особая форма написания, которая многим из Вас знакома со школы: матричная форма написания:

Три уравнения преобразования записываются при этом в следующей форме, друг под другом, и дополняются нулями:

Члены, которые нужны для получения новых составляющих из старых , объединены в следующей -матрице :

с матричным элементом для , причем индекс обозначает (горизонтальные) строки, а - (вертикальные) столбцы. Например,

Если же вместо отдельных элементов матрицы мы имеем в виду всю матрицу с девятью элементами, тогда мы используем написанную жирным шрифтом большую букву . Три уравнения для расчета новых координат из страх в этой новой форме написания получаются посредством правила обобщенного умножения для :

Для последнего члена было применено соглашение Эйнштейна о суммировании. Оно позволяет нам опускать знак суммирования всегда, когда появляются два одинаковых индекса, в данном случае - два индекса , и предпологает суммирование для без специальных знаков сложения.

Затем, для того, чтобы получить вектор-столбец в повернутой системе координат, "умножаем" вектор-столбец в исходной системе координат слева на матрицу поворота:

Для этого проще всего взять вектор-столбец, транспонированный строка за строкой и сдвинутый через матрицу поворота, умножить стоящие друг над другом члены и сложить.

В матричной форме уравнения преобразования особенно легко запомнить: единица стоит на месте , т.к. ось 3, как ось поворота, остается при вращении неизменной, а плоскость 1-2 будет повернута на угол . При этом легко обобщить данное правило на повороты вокруг двух других осей: например, при вращении на вокруг оси 1, имеем , а плоскость 2-3 будет повернута:

это значит, что и .

Из этого уравнения видно, что формулы преобразования для трех поворотов можно получить без вычислений, а следует просто заменить индексы циклически (т.е. по кругу), это значит: 1 заменить на 2, 2 заменить на 3, а 3 заменить на 1:

Рисунок 9.9: Циклическая подстановка

Формула преобразования для составляющих вектора при вращении системы координат является важной характеристикой вектора, так что удобно определять векторы как величины, составляющие которых меняются при повороте системы координат указанным образом. На самом же деле, если физик хочет установить, является ли трехкомпонентная величина вектором, он измеряет ее составляющие в двух повернутых друг к другу системах координат и исследует, могут ли результаты измерений при помощи соответствующей матрицы поворота быть перенесены друг в друга.

Мы также хотели бы рассмотреть, как ведет себя при повороте длина вектора:

и установить, что она является инвариантной относительно вращения, как мы и ожидали.

Следующим способом преобразования системы координат, который мы рассмотрим, будет:

3) ЗЕРКАЛЬНОЕ ОТРАЖЕНИЕ, например, относительно начала координат (преобразование четности, или просто четность).

Мы снова рассматриваем только лишь четность, т.е. отражение относительно нулевой точки, при котором все координаты и все компоненты меняются на противоположные: это преобразование, которое оставляет нулевую точку инвариантной , может быть описано при помощи матрицы , а именно, при помощи отрицательной единичной матрицы, которую мы также можем обозначить при помощи :

Таким образом, для составляющих вектора в отраженной системе мы получим:

Все векторы, компоненты которых при отражении от начала координат меняют свой математический знак, называют полярными (истинными) векторами. И снова, такое свойство имеют не все важные для физики векторы. Нам встретятся такие физические векторы, как, например, угловой момент, которые являются инвариантными относительно четности. Их мы будем называть аксиальные векторы (псевдовекторы).

Для всех видах векторов длина является инвариантной относительно отражения, т.е. в каждом случае

И наконец, обратимся к:

4) РАСТЯЖЕНИЯ (ДИЛАТАЦИИ): например, растяжение вдоль всех осей на общий множитель, например 10:

В качестве показательного примера, давайте снова рассмотрим изменение масштаба, а именно от сантиметров (см) перейдем к дециметрам (дм), причем оси координат остаются неизменными и только лишь размерные точки на оси будут передвинуты так, что расстояния от начала координат изменятся. При этом числовые меры составляющих вектора уменьшаются. Соответствующая матрица преобразования растяжения равна :

При изменении масштаба, разумеется, никакой вектор не остается инвариантным, а также числовая мера длины уменьшится на множитель :

При исследовании данных вопросов мы проделали самую сложную работу для понимания векторов. Сейчас же мы можем приступить к изучению расчетов с векторами, и будем помнить, что речь идет о трансляциях со свободно выбираемой исходной точкой.

Остается только заметить, что существуют и такие физические величины, для определения которых достаточно лишь одной единственной величины измерения, т.е. числа и единицы измерения. Такими физическими величинами являются, например, масса, заряд, температура, сила тока и т.п. Такие величины называют скалярными величинами (или также тензорами нулевого ранга), в отличии от векторов (которые также называют тензорами первого ранга), и в отличии от более сложных физических величин, как, например, момент инерции.