9 Vectores

9.2 Vectores como Desplazamientos

9.2.3 Transformaciones de los sistemas coordenados

Deseamos investigar cómo las componentes del vector fijo, dado físicamente y posiblemente representado por , cambian si el sistema coordenado es sujeto a las cuatro transformaciones especiales seleccionadas de la Sección 9.1.4 .

Comenzamos con las:

1) TRANSLACIONES (DESPLAZAMIENTOS): por ejemplo, por 1 en la dirección 3:

Primero nos preocupamos de la arbitrariedad de la elección del origen: ¿cómo lucirían las componentes de nuestro vector si hubiésemos seleccionado en vez del punto otro punto  como zero, por ejemplo, , que está desplazado por la distancia  en la dirección postiva 3? Con ayuda de nuestros resultados de  9.1.4.1 obtenemos:

Debido a que los términos de la traslación de los puntos inicial y final del representante se cancelan al hacer la diferencia, obtenemos (como se espera debido a la libertad de movimiento en la definición de vector) la invariancia traslacional de vectores, es decir, la elección arbitraria del origen de nuestro sistema de coordenadas no tiene consecuencia para las componentes del vector.

De aquí se deduce que la longitud del vector es una cantidad invariante bajo traslaciones:

Sin embargo, no todas las cantidades tipo vector en física son invariantes bajo traslaciones y tampoco en cada problema físico. Por ejemplo, las fuerzas actuando sobre un cuerpo rígido lejos del centro de masa o también el intensidad de campo de un campo eléctrico no homogéneo. Los físicos hablan en este caso de vectores fijos. En tales casos, antes de aplicar el álgebra vectorial, lo que haremos en las siguientes secciones, tenemos que considerar en cada caso hasta dónde se aplican los resultados obtenidos.

Como un segundo ejemplo examinamos

2) ROTACIONES (GIROS), por ejemplo, por un ángulo alrededor de la dirección 3:

Manteniendo fijo el origen , consideramos una vez más, además de nuestro viejo sistema de coordenadas como en la   Figura 9.5 , uno nuevo: que está rotado por ejemplo, por un ángulo  alrededor del eje 3, en el sentido de las manecillas del reloj mirando hacia el eje 3 positivo, y obtenemos por ejemplo, con el representante  :

Para la regla en que las nuevas coordenadas se calculan a partir de las antiguas, la matemática ofrece una formulación conocida desde el colegio: la formulación matricial:

Para obtenerla, escribimos las tres ecuaciones de transformación una bajo la otra y completamos las ecuaciones con ceros de la siguiente manera:

Los factores necesarios para obtener las nuevas componentes a partir de las antiguas se resumen en la siguiente matris  , :

con los elementos de matriz para donde el índice marca las filas (horizontales) y el índice las columnas (verticales). Por ejemplo,

Si nos interesa la matriz completa con sus nueve elementos,  en vez de cada uno de los elementos de matriz , usamos una letra mayúscula en negrita . Las tres ecuaciones para el cálculo de las nuevas coordenadas a partir de las antiguas se obtiene en esta nueva formulación por medio de la siguiente prescripción de una regla de multiplicación generalizada para

En el último término se ha utilizado la convención de suma de Einstein . Esto nos permite omitir el símbolo de suma en el caso que aparezcan dos índices idénticos (en este caso los dos índices ) y de este modo indicar la suma aun sin usar explícitamente el símbolo suma.

De acuerdo a esta prescripción, obtenemos el vector columna de las componentes en el sistema de coordenadas rotado al multiplicar el vector columna de las componentes en el sistema antiguo por la izquierda con la matriz de rotación:

Para hacer esto imaginamos más simplemente el vector columna transpuesto y lo llevamos fila a fila sobre la matriz de rotación, multiplicamos entre sí los términos ubicados uno sobre otro, y luego sumamos los tres productos.

En la formulación matricial las ecuaciones de transformación pueden ser más fácilmente memorizadas. El número 1 ocupa la posición debido a que el eje 3, como eje de rotación, permanece inalterado durante la rotación y el plano 1-2 se rota por . También, la extensión a rotaciones alrededor de los otros dos ejes se puede imaginar fácilmente: por ejemplo para la rotación por alrededor del eje 1, el elemento de matriz debe ser ciertamente  y el plano  2-3 es rotado:

lo que significa que y .

A partir de este ejercicio usted puede encontrar las fórmulas de transformación para las tres rotaciones a partir de las otras sin mucho cálculo, simplemente reemplazando los índices cíclicamente (es decir, en un círculo), esto es  1 por 2,  2 por 3 y 3 por 1:

Figura 9.9: Reemplazo cíclico

La fórmula de transformación para las componentes de un vector con rotaciones del sistema de coordenadas es una característica importante de los vectores y algunas veces los vectores se definen simplemente como cantidades cuyas tres componentes transforman de una manera dada bajo rotaciones del sistema de coordenado. De hecho, cuando un físico desea determinar si una cantidad con tres componentes es un vector, mide sus componentes en dos sistemas de coordenadas rotados con respecto al otro e investiga si los resultados medidos pueden conectarse por la matriz de rotación correspondiente.

También examinamos el comportamiento bajo rotaciones de la longitud del vector:

y encontramos que es invariante bajo rotaciones, como se esperaba.

Nuestra siguiente  transformación del sistema de coordenadas corresponde a las:

3) REFLECCIONES (ESPECULARES), por ejemplo, a través del origen (transformación de paridad)

Consideramos una vez más la transformación de paridad, es decir, la reflexión a través del origen que transfiere todas las coordenadas y consecuentemente todas las componentes a sus negativos: También esta transformación, que deja invariante al origen en forma trivial, puede ser descrita por una matriz  , esto es, por el negativo de la matriz unidad y que denotamos por :

Luego, obtenemos el para las componentes de un vector en el sistema relejado:

Todos los vectores cuyas componentes cambian de signo bajo reflexiones se denominan vectores polares. Nuevamente, no todos los vectores importantes en física tiene esta propiedad. Pronto volveremos a vectores físicos, por ejemplo, el momento angular, que son invariantes bajo paridad . A este vectores los llamamos vectores axiales.

Sin embargo, para toda clase de vectores la longitud es un invariante bajo paridad, debido a que en todo caso se cumple

Finalmente volvemos a las :

4) DILATACIONES (ALARGAMIENTOS): especialmente de todos los ejes por un factor común, por ejemplo, 10.:

Examinamos nuevamente, como un ejemplo, el cambio de escala de centímetros cm a decímetros dm, mientras los ejes coordenados permanecen inalterados y sólo se modifican los puntos sobre los ejes, de modo tal que las distancias desde el origen  aumentan. En este caso, los valores de las componentes del vector decrecen. La matriz de transformación correspondiente a la dilatación es: :

Bajo cambios de escala, por supuesto, ningún vector permanece invariante y luego su longitud se reduce por el factor :

Con estas investigaciones, la parte más difícil de nuestro programa para comprender los vectores se ha completado. Ahora procedemos a estudiar cómo podemos calcular con vectores, teniendo siempre en mente que tratamos con desplazamientos que poseen puntos de partida elegibles libremente.

Aun queda por recalcar que por supuesto existen también cantidades físicas para las cuales se necesita solo una medida, valor y unidad, como por ejemplo masa, carga, temperatura, intensidad de corriente, etc. Estas cantidades se denominan escalares (o algunas veces tensores de orden cero) en contraste con a los vectores (que ocasionalmente llamamos tensores de primer orden) y otras cantidades aun más complicadas, como ser el momento de inercia.