9 Vectores

9.6 Producto vectorial y el sÌmbolo de Levi-Civita

9.6.8 SÌmbolo de Levi-Civita

Simplemente escribimos:

donde el ˙ltimo tÈrmino where nos recuerda una vez m·s la convenciÛn de suma de Einstein.  AquÌ, el sÌmbolo de Levi-Civita con sus tres Ìndices se define por:

 

Obviamente el sÌmbolo cambia de signo cuando se permutan cualesquiera dos de sus Ìndice. Se dice que sÌmbolo es totalmente antisimÈtrico bajo intercambio de un par de Ìndices:

Para todas las permutaciones pares o cÌclicas de la secuencia de Ìndices 123  se obtiene un , dando exactamente las tres relaciones indicadas m·s arriba, caracterÌstico de las bases derechas. La secuencia de Ìndices con un n˙mero impar de permutaciones de dos Ìndices bajo la secuencia de n˙meros 123 o permutaciones anticÌclicas de 123 da , como en los tres productos vectoriales previamente especificados con el intercambio del orden de los factores. SÛlo seis de los 27 elementos del sÌmbolo de Levi-Civita son diferentes de . Todos los 21 restantes elemento son cero, de modo que usted puede encontrar dificultades en encontrar los tres importantes "azules" en la multitud de ceros rojos, y especificar los aun m·s importantes tres verdes  :

Figura 9.25: IlustraciÛn del sÌmbolo de Levi-Civita:
°Obviamente no hay razÛn para temerle! Consiste de casi solo ceros.

Como puede ver de la figura, el sÌmbolo de Levi-Civita, a pesar de sus muchos ceros y su bella simetrÌa, es un objeto bastante inmanejable debido a sus tres Ìndices. Por lo tanto, deseamos formular su mensaje crucial, es decir, las seis configuraciones de Ìndices para los cuales no se anula, y su conexiÛn con el ahora m·s familiar y manejable  sÌmbolos de Kronecker.  De hecho, es igual a
con, con; con, con; con y con:

En esta forma de los resultados, reconocemos (despuÈs de haber estudiado nuestro inserto sobre matrices) el desarrollo del determinante de una matriz dede acuerdo a la primera lÌnea o primera columna:
AsÌ:
En la transiciÛn desde la primera a la segunda versiÛn hemos utilizado que el determinante de una matriz no cambia por una reflexiÛn por su diagonal principal: . En la transiciÛn a la tercera versiÛn hemos usado la simetrÌa del sÌmbolo de  Kronecker bajo intercambio de dos Ìndices: . Obviamente, existen una abundancia de otras formas para el sÌmbolo de Levi-Civita como un determinante, si consideramos que cada determinante cambia su signo cuando intercambiamos dos lÌneas o columnas. Usando la representaciÛn de determinante del sÌmbolo de Levi-Civita Usted debiera recordar siempre que que los sÌmbolos de Kronecker en el determinante no son m·s que indicadores de lugar, que nos indican que hay que poner un  o un dependiendo del valor de los Ìndices.