Dos símbolos de Levi-Civita:

Para el cálculo de productos múltiples adicionales necesitamos el siguiente producto de dos símbolos Levi-Civita

La demostración es un buen ejercicio en la multiplicación de matrices:

Primero, hemos reemplazado ambos símbolos de Levi-Civita por dos representaciones de determinantes elegidas astutamente, luego hemos usado el hecho que el determinante de un producto de dos matrices es igual al producto de los dos determinantes. Posteriormente, hemos multiplicado ambas matrices como hemos aprendido anteriormente. Los elementos de matriz se muestran como la suma de tres productos de dos símbolos de Kronecker, que escribimos en forma compacta como sumas sobre , utilizando la convención de suma. Finalmente, hacemos esas sumas y, en cada caso, sólo sobrevive un símbolo de Kronecker.

Teniendo este resultado antes nuestros ojos, nos damos cuenta que debido a las propiedades de simetría de los determinantes, nada diferente podría haber resultado. La fórmula final tiene que ser antisimétrica dentro de cada uno de los dos tripletes de índices y , y simétrico con respecto al intercambio de pares de índices , y , como lo es nuestro producto de partida.

Afortunadamente, este resultad general se encuentra rara vez en cálculos. La mayoría de las veces, se necesita el producto de dos símbolos de Levi-Civita en el caso espacial cuando se suma sobre un par de índices, por ejemplo, m:

También, deseamos mostrar cómo aparece esta importante:

Aquí hemos puesto primero en la representación de determinante del producto de dos símbolos de Levi-Civita, luego hemos desarrollado el determinante de resultante con respecto a la última fila, y hecho las sumas sobre en los determinantes de restantes; como caso especial obtenemos un a partir de la traza . El resultado se hace claro, después de intercambiar las columnas en el primer determinante de .

La estructura general, esto es, "antisimétrico en  y , y simétrico con respecto a y , y el índice de la suma no debiese aparecer más", debería de haber sido adivinada, pero no estaríamos seguros de que el factor numérico en frente fuese realmente un .

A veces se necesita el producto de dos símbolos de Levi-Civita sumado dos veces, el que podemos obtener ahora de modo muy simple:

,

que es simétrico en el par de índices , como debe ser. Como una entretención, finalmente sumamos sobre el tercer par de índices:

Relaciones análogas se satisfacen también para símbolos de Levi-Civita completamente sumados en espacios en otras dimensiones, por ejemplo, en , con el resultado: "número de dimensiones factorial"

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