Самым простым и главным способом перемножить между собой три вектора
,
и
(по соглашению Эйнштейна о суммировании, соответственно) является скалярное произведение векторного произведения с третьим вектором, так называемое
|
Смешанное произведение векторов:
|
Мы сначала записали здесь определение обоих произведений, а затем подставили представление через детерминант для символа Леви-Чивиты и применили его перед операцией сложения, поскольку детерминант, как мы уже видели ранее, является однородной функцией по рядам. Благодаря симметриям детерминанта, возможно получит другие представления данной формулы, например, посредством циклической перестановки и отображения относительно главной диагонали, т.е., например, составляющие трех векторов могут быть занесены не в строки, а в столбцы детерминанта.
Данному разнообразию возможностей представления детерминанта соответствуют тождественные представления одного и того же смешанного произведения векторов в общепринятой форме:
Благодаря коммутативности скалярного произведения, оба знака умножения могут быть заменены и поэтому, они могут быть вообще опущены:
Антикоммутативность векторного произведения приводит к следующим соотношениям:
Вычисление детерминанта дает в итоге вещественное число:
Для геометрическй интерпретации, рассмотрим следующее изображение:
дает вектор с длиной равной площади параллелограмма
и направления
, т.е., расположенный перпендикулярно параллелограмму, построенному на
и
. На направление этого единичного вектора
. Длина данной проекции
дает высоту параллелепипеда над плоскостью основания
, объем которого (разумеется со знаком!) равен численному значению смешанного произведения векторов. В зависимости от порядка, в котором перемножаются три вектора, объем равен смешанному произведению, взятому с определенным знаком.
и векторы в заданном порядке образуют правый винт, то смешанное произведение имеет положительный знак. Рассмотрите, например, первый единичный вектор
, второй единичный вектор
в плоскости 1-2, который образует с
угол
, и вектор
, который в плоскости 1-3 составляет угол
с
, т.е., например,
для
и
, в то время как 
.
, если три вектора-сомножителя являются компланарными, т.е. линейно зависимыми, например, когда два из трех векторов равны. Наоборот, из условия равенства нулю детерминанта с тремя векторами в виде векторов-строк или векторов-столбцов, можно прийти к их линейной зависимости.
,
и
линейно зависимыми?
- объем единичного куба.
и
.
,
и
.
, но сначала вложите тетраэдр в куб. 
:
,
и
? Почему?
,
и
.