9 Векторы

9.7 Сложное произведение: Два символа Леви-Чивиты

9.7.2 Двойное векторное произведение трех векторов

Наряду со смешанным произведением векторов существует еще и другое произведение из трех векторов , img src="k9/gif/f97203.gif" alt="math formula" hspace="5" align="middle" width="66" height="25" /> (в соответствии с соглашением Эйнштейна о суммировании!), а именно: двойное векторное произведение векторов, которое в физике встречается, например, при описании центробежной силы. Уже рассматривая вопрос о действии ассоциативного закона для векторного произведения, мы в качестве контрпримера рассмотрели два таких двойных произведения векторов.

Для общего случая, представим двойное произведение трех векторов как векторное произведение двух векторов, причем в качестве второго сомножителя возьмем результат векторного произведения второго и третьего векторов. Мы будем подробно комментировать каждый шаг нашего доказательства (не забывайте соглашение о суммировании!):

подставляем внутреннее векторное произведение,
в силу однородности векторного произведения
подставляется также внешнее векторное произведение,
-циклически замена,
разложение на составляющие ,
сумма по дает вклад только для ,
произведение символов Леви-Чивиты подставлено,
проведено суммирование по ,
проведено суммрование по ,
проведено суммирование по ,
проведено суммирование по .

В итоге мы получили так называемую

, т.е. вектором, компланарным сомножителям внутреннего векторного произведения и .

Если бы действовал ассоциативный закон, то это было бы равно . Но, как мы видим, это не так, поскольку:

Это значит, что вектор-произведение снова компланарен с сомножителями внутреннего векторного произведения, которыми на этот раз являются и .