Entre los productos múltiples construidos de cuatro vectores, el producto escalar de dos productos vectoriales es el que encuentra más frecuentemente. El producto escalar de dos momenta angulares tiene, por ejemplo, esta estructura y, por supuesto, el cuadrado del momentum angular.
Calculamos en forma general para cuatro vectores
,
,
y
(¡cada
uno convención de suma!):
,
i.e..
Aquí hemos insertado las representaciones en componentes de los dos
productos vectoriales, luego usamos la homogeneidad del producto escalar,
usamos la relación de ortonormalidad para los vectores base, sumamos sobre
,
expresamos el producto de los símbolos de
Levi-Civita
symbols sumandos una vez por símbolos de Kronecker y finalmente
reducimos todos a productos escalares, al ejecutar las siguientes cuatro
sumas.
Un famoso caso especial de esta relación para
y
es la llamada
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Ejercicio 9.46: Momento de inercia Al definir el momento de inercia, su profesor utilizó la
siguiente ecuación
|
sin
comentario alguno. ¿Se le permite hacer esto?