Fórmula del determinante:

En todas las consideraciones concernientes a las transformaciones de coordenadas usted usará una y otra vez la siguiente

Esta relación luce más complicada de lo que es. Deseamos dejar claro cómo resulta ésta:

Para hacer esto, consideremos una matriz arbitraria de de y formemos:

Ahora deshacemos la suma sobre los símbolos de Kronecker symbols standing to the right just summed, by extracting the Kronecker symbols but now  on the left side. Luego, nos damos cuenta que hemos obtenido el determinante del producto de dos matrices:

El determinante del producto de dos matrices es, sin embargo, igual al producto de los determinantes de dos factores.

Así hemos alcanzado el resultado deseado que Usted necesitará muy a menudo.

Debido a que toda la derivación podría ser llevada a cabo también por la matriz transpuesta, la fórmula del determinante se utiliza a menudo en la siguiente forma:

Es importante que nuestra fórmula de determinante puede ser vista en una forma completamente diferente: El símbolo de Levi-Civita, como una cantidad con tres índices, puede considerarse como un tensor de tercer orden, y el lado izquierdo de nuestra fórmula como , es decir, como una representación del tensor de 27 componentes en el sistema de coordenadas transformado : por cada índice una matriz de transformación. Así visto, significa la invariancia bajo rotaciones de las componentes del tensor, es decir, ¡los 1 y los ceros son los mismos en cualquier sistema coordenado! Además de este hecho, parece de un signo menos por reflexiones. Así, estamos tratando con un pseudovector. Correspondientemente, Usted encontrará que el símbolo de Levi-Civita, al ser totalmente antisimétrico bajo intercambios de cualesquiera dos de sus índices, bajo el nombre de  "pseudotensor de tercer orden, numéricamente invariante rotacional".

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