9 Vectores

9.7 Productos Múltiples

9.7.4 Producto vectorial de dos productos vectoriales

Concluimos nuestra discusión de productos múltiples con el producto vectorial de dos productos vectoriales. Primero, decidimos mantener sin tocar el segundo producto vectorial, tanto como sea posible:

i.e. , i.e. coplanar con y .

Aquí, hemos primero reemplazado el primer producto vectorial por sus componentes, luego tomamos ventaja de la homogeneidad del producto vectorial. Luego, hemos desarrollado el producto vectorial anidado de acuerdo a  Grassmann, y ejecutado la proyección sobre las componentes y finalmente alcanzado los productos triple como coeficientes de ambos factores vectoriales del segundo producto vectorial, en el plano donde debería estar.

Preocupados por esta aparente asimetría, calculamos el mismo producto una vez mas, ahora manteniendo el primer producto vectorial tanto como sea posible y procediendo de manera completamente análoga a como lo hicimos arriba:

i.e. , i.e. coplanar con y .

Por lo tanto, el vector producto del producto vectorial de dos vectores debe estar necesariamente sobre la línea recta que une los dos planos generados por ambos pares de factores del producto vectorial.

Figura 9.28 : Producto vectorial de dos productos vectoriales

Para tener una visión global, reunimos las relaciones para varios productos múltiples:

Con  , y , se satisface:

Luego, hemos reducido los productos múltiples en productos escalar, vectorial y triple. La única cosa que resta hacer es clarificar cómo estas tres clases de productos se comportan bajo cambios de coordenadas. Para ello necesitamos una relación concerniente al determinante de una matriz de transformación, la fórmula del determinante que obtendremos en la siguiente nota.