Para responder esa pregunta, primero consideramos la ortonormalidad. Se requiere que se satisfaga la siguiente relación:
i.e.
Por lo tanto, sólo se permiten matrices con la siguiente propiedad
o
.
Los matemáticos llaman a estas matrices orthogonal. A partir
de sus nueve elementos, sólo tres números reales son independientes por que
existen seis ecuaciones de ligadura:
 |
para
y |
 |
para
 . |
Con respecto a la multiplicación de matrices, las matrices ortogonales
forman un grupo llamado
que
por supuesto non puede ser abeliano, porque hemos encontrado que, en
general, la
multiplicación de matrices no es conmutativa:
Para verificar la propiedad de grupo, consideramos primero el producto 
de
dos matrices ortogonales
,
con
,
y
con
y calculamos:
que significa que el producto de dos matrices ortogonales es nuevamente una matriz ortogonal.
Más aun, la ley asociativa se satisface para cada multiplicación de matrices:
Existe exactamente un elemento unidad, por que la matriz unidad
es ortogonal, ya que
. Se sigue que
:
elemento unidad
:
para todo
Para la multiplicación de una matriz por
la derecha o por la izquierda con la matriz unidad
se obtiene nuevamente la matriz original.
Y un inverso determinado sin ambigüedades existe para cada matriz
ortogonal
,
esto es, la matriz transpuesta. Para esto es precisamente la condición
de ortogonalidad:
Esta condición necesaria para la existencia de un inverso
se satisface, ya que de
se
obtiene el determinante
Con este grupo, todas las propiedades de matrices ortogonales quedan
demostradas. A partir del determinante, vemos además que existen dos
clase de matrices ortogonales: aquellas con determinante
,
las rotaciones, y aquellas con determinante
,
las reflexiones.
La ecuación de definición de las matrices ortogonales
abre una visión totalmente diferente para el símbolo de Kronecker: si
incluimos en el lado izquierdo una
superflua
con una suma adicional, obtenemos :
.
Si consideramos al símbolo de Kronecker, debido a sus dos índices, como un
tensor de orden dos, encontramos en el lado izquierdo
,
i.e. los nueve elementos de este tensor transforman al nuevo sistema
coordenado: por cada índice una matriz de transformación. Así, la ecuación
completa
significa la invariancia de los elementos de matriz bajo rotaciones y
reflexiones, i.e. los unos y ceros no cambian en cada sistema de coordenadas
y permanecen en la misma posición: El símbolo de Kronecker, que es simétrico
bajo intercambios de dos índices, es desde este punto de vista un "tensor
de segundo orden invariante numéricamente". Usted lo encontrará
frecuentemente bajo este nombre.