9 Векторы

9.8 Преобразование произведений векторов

9.8.4 Преобразование произведений векторов

В конце данного курса, мы хотели бы еще проверить, как ведут себя наши векторные произведения при вращениях и отражениях:

Мы уже знаем, что составляющие вектора , которые представляют собой проекции вектора на оси координат , преобразуются при помощи трансляции так же как и сами базисные векторы:

То есть

В частности, знаки компонент меняются при отражении относительно начала координат, т.е. преобразовании чётности. Поэтому такие векторы называют полярными векторами.

В качестве первого произведения давайте исследуем скалярное произведение двух полярных векторов и :

Мы сначала подставили покомпонентное представление для скалярного произведения в новой системе отсчёта с суммированием по , затем применили закон преобразования для составляющих полярных векторов, использовали соотношение ортогональности матриц преобразования и, в конце, после суммирования по , получили покомпонентное представление скалярного произведения в первоначальной системе координат.

Таким образом мы показали, что наше скалярное произведение является инвариантным относительно вращений и отражений, а значит, не зря называется скаляром.

Теперь давайте изучим свойства преобразования составляющих векторного произведения двух полярных векторов и :

Здесь мы подставили разложение на составляющие k-ой компоненты векторного произведения в преобразованной системе координат с суммированием по и , затем провели преобразование векторных составляющих обоих сомножителей и ввели для последнего символа Леви-Чивиты дополнительный символ Кронекера с суммированием по . Этот мы заменили на две прямоугольные матрицы преобразования, а три матрицы при помощи нашей формулы вычисления детерминанта объединили в один детерминант, и в конце векторное произведение снова записали в старой системе координат.

Таким образом, векторное произведение преобразуется как вектор при вращениях. Однако, присутствие детерминанта дает дополнительный знак минус при отражениях, так что векторное произведение векторов является инвариантом относительно отражений. Такие векторы называются аксиальными векторами; все векторы, выступающие в физике как векторные произведения полярных векторов, являются инвариантными относительно отражений. Все они, как мы видели, связанны с вращательными процессами и обозначают, в отличии от стрелки направления векторов смещения, направление вращения, а оно, если рассматривать его в зеркале, не изменяется. Это показано на рисунке ниже.

Рисунок 9.29: Отражение круга направления вращения и стрелка трансляции у начала координат

В качестве последнего примера рассмотрим смешанное произведение трех полярных векторов , и в преобразованной системе координат :

Мы снова преобразовали составляющие полярных векторов и применили формулу для вычисления детерминанта .

Смешанное произведение векторов предстает при этом в виде скаляра по отношению к поворотам, но не является инвариантным по отношению к отражениям, в результате которых оно меняет знак. Такая величина называется псевдоскаляром.

Мы рассмотрели здесь лишь простейшие правила векторной алгебры. На протяжении всей Вашей учебы Вы еще не раз будете иметь дело с векторами. Вы будете изучать векторы как функции скаляра, прежде всего, времени, но также и скаляры и векторы как функции векторов, прежде всего, координаты или импульса - так называемые поля. Вы изучите, как дифференцировать векторы, раскладывать их в ряд Тейлора и интегрировать их различными способами. Все эти векторы будут показывать характерное поведение по отношению к поворотам системы координат и будут различаться относительно отражений на полярные и аксиальные векторы. Рассматривая теорию относительности, Вы будете делать вычисления с векторами, которые имеют четыре составляющие. А рассматривая теорию поля, Вы будете учиться обходиться с бесконечно-мерными векторами. Но базовые структуры, с которыми мы здесь вместе познакомились, всегда останутся неизменными.

В некоторых разделах физики Вы, кроме скаляров и векторов, столкнетесь с тензорами второго ранга, например, рассматривая момент инерции, тензор напряжения или электрический квадрупольный момент. В четырехмерном пространстве-времени электромагнитные поля образуют тензор поля второго ранга. Но, благодаря нашему курсу, Вы уже подготовлены к рассмотрению даже таких сложных задач. Успехов Вам!