9 Vectores

9.8 Propiedades de Transformación de Productos

9.8.4 Transformación de los productos

Al final de este curso deseamos chequear como nuestros productos de vectores transforman bajo rotaciones y reflexiones del sistema coordenado:

Ya sabemos que las componentes   de un vector que emerge de un desplazamiento como proyecciones sobre los ejes coordenados transforman como los vectores base:

así

En particular, los signos se revierten por reflexión a través del origen, la transformación de paridad. Por lo tanto, estos vectores se llaman vectores polares.

Como el primer producto examinamos el producto escalar de los dos vectores polares y :

Aquí, hemos primero insertado la representación de componentes del producto escalar en el nuevo sistema con la suma sobre  , luego hemos utilizado la ley de transformación para las componentes, la relación de ortogonalidad de las matrices de transformación y finalmente, después de sumar sobre recibimos la representación de componentes del producto escalar en el sistema coordenado original sin factor alguno en frente.

Así, hemos mostrado que nuestro producto escalar es invariante bajo rotaciones y reflexiones y por lo tanto merece completamente el nombre de escalar.

Ahora estudiamos las propiedades de transformación de las componentes del producto vectorial de dos vectores polares y :

Aquí hemos insertado la representación en componentes de la componente k-ésima del producto vectorial en el sistema transformado con suma sobre y , luego hemos hecho la transformación de las componentes del vector de ambos factores e introducimos un símbolo de Kronecker superfluo con la suma sobre para el último índice en el símbolo de Levi-Civita. Esta la hemos reemplazado por medio de dos matrices de transformaciones ortogonales y combinamos las tres matrices con la ayuda de la fórmula del derminante en el determinante, y finalmente escrito el producto vectorial en términos del antiguo producto vectorial en el antiguo sistema sin transformar.

Así, se concluye que el producto vectorial transforma bajo rotaciones como desplazamientos como un vector, pero bajo reflexiones, debido a que el determinante introduce un signo menos extra, el producto vectorial es invariante bajo reflexiones. Vectores con esta propiedad se denominan vectores axiales, y de hecho todos los productos vectoriales de dos vectores polares que aparecen en física son invariantes bajo reflexiones. Como hemos visto, todos están relacionados a procesos rotacionales y representan en algún sentido - a diferencia de los vectores de desplazamiento - un evento de giro que no cambia cuando se mira en un espejo. La siguiente figura intenta mostrar esto.

Figura 9.29: Círculo de giro y flecha de desplazamiento bajo reflexiones a través del origen

Finalmente deseamos darle una mirada al producto triple de tres vectores polares , y en el sistema coordenado transformado:

 

Hemos nuevamente transformado las componentes del vector polar y utilizado la fórmula del determinante .

El producto triple se comporta como un escalar bajo rotaciones, pero no es invariante bajo reflexiones porque cambia de signo. Tal cantidad se denomina un pseudoescalar.

Aquí hemos tratado sólo las reglas más simple del álgebra de vectores. Usted aprenderá mucho más a lo largo de sus estudios. Usted estudiará vectores que son funciones de una variable escalar, en particular, la variable temporal, y también escalares y vectores que son funciones de vectores, usualmente vectores de posición o del momentum, es decir, los llamados campos. Usted aprenderá a diferenciar vectores, expandirlos en series de acuerdo a Taylor, y a integrarlos en muchas formas diferentes. Todos estos vectores muestran el comportamiento característico bajo rotaciones del sistema coordenado, y ellos pueden ser distinguidos como polares o axiales de acuerdo a su comportamiento bajo reflexiones. Al tratar con la teoría de la relatividad Usted calculará con vectores con cuatro componentes. En teoría de campos, Usted aprenderá a manejar vectores de dimensión infinita. Pero la estructura básica siempre serán las mismas, las estructuras que hemos encontrado aquí.

Más allá de los escalares y vectores, en algunas áreas de la física encontrará tensores de segundo orden, por ejemplo, el momento de inercia, el tensor de esfuerzos y el momento cuadrupolar eléctrico. En el espacio-tiempo cuadridimensional los campos electromagnéticos forman un tensor de segundo orden. La teoría de transformaciones de tensores tiene mucho en común con la teoría de transformaciones de vectores, y en nuestras consideraciones aquí le ha preparado para ese material más avanzado. ¡Espero que lo disfrute!