2 Zeichen und Zahlen

2.2 Zahlen

2.2.3 Rationale Zahlen

Beim Teilen haben die Menschen gemerkt, dass auch die ganzen Zahlen im Alltag nicht ausreichen. Mathematisch gesprochen: Um auch die Gleichung für innerhalb einer Zahlenmenge lösen zu können, müssen wir die ganzen Zahlen zu den rationalen Zahlen erweitern, und zwar durch die Hinzunahme der inversen Zahlen oder . Wir benutzen die Schreibweise für die Menge der ganzen Zahlen ohne die Null. Dann gibt es zu jeder von verschiedenen ganzen Zahl genau ein

Diese Begriffsbildung ist uns wohlvertraut. Das Inverse zu der Zahl 3 ist , das Inverse zu -7 ist . Damit lösen die Brüche für wie gewünscht unsere Ausgangsgleichung . Allgemein sind die rationalen Zahlen die Quotienten aus zwei ganzen Zahlen, bestehend aus dem Zähler und dem ( von verschiedenen ) Nenner. Sie sind also, mathematisch ausgedrückt, geordnete Paare von ganzen Zahlen: .

Ausdividiert werden die rationalen Zahlen dann zu endlichen, d.h. abbrechenden oder periodischen Dezimalbrüchen: z.B. und , wobei der Strich über den letzten Ziffern die Periode andeutet.

Mit dieser Definition des Inversen bilden jetzt die rationalen Zahlen nicht nur bezüglich der Addition, sondern auch bezüglich der Multiplikation eine Gruppe ( mit Assoziativgesetz, Eins und inversem Element ), die wegen des Kommutativgesetzes der Faktoren: abelsch ist.

Die rationalen Zahlen liegen dicht auf unserer Zahlengeraden, d.h. in jedem Intervall kann man abzählbar unendlich viele finden:

Bild 2.4: Die rationalen Zahlen

Wegen der endlichen Meßgenauigkeit jeder physikalischen Messung sind die rationalen Zahlen in jeder praktischen Hinsicht die Zahlen der Physik und auch jeder anderen Naturwissenschaft. Deshalb haben wir uns ihre Rechenregeln so genau angesehen.

Bei der Angabe der Messergebnisse als rationale Zahlen, meist in Form von Dezimalbrüchen, haben die Wissenschaftler weltweit vereinbart, nur so viele Stellen hinter dem Komma anzugeben, wie gemessen sind. Zu jedem Messwert sollte jeweils auch die Unsicherheit angegeben werden. So findet man z.B. für das Plancksche Wirkungsquantum in einer Tabelle . Diese Angabe läßt sich auch wie folgt schreiben: und bedeutet, dass der Wert von ( mit einer Wahrscheinlichkeit von ) zwischen den folgenden beiden Schranken liegt: .

Als erste Anwendung der Potenzen erwähnen wir den Satz des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate über den beiden Katheten und :

Bild 2.5: Bewegliches Bild zur Veranschaulichung des Satzes von Pythagoras mit bunten Parallelogrammen, aus denen der geometrische Beweis ersichtlich ist.

Häufig gebraucht werden auch die sogenannten

die zwar leicht abgeleitet werden können, aber einfach auswendig gelernt werden sollten.

Die binomischen Formeln sind ein Spezialfall (für ) des allgemeinen Ausdrucks

worin

die sogenannten Binomialkoeffizienten sind. Sie lassen sich entweder direkt aus der Definition der Fakultät berechnen, z.B.

oder im Pascalschen Dreieck konstruieren. Es wird folgendermaßen von oben her aufgebaut:

Man beginnt mit der Zahl in der Zeile . In der nächsten Zeile () werden rechts und links zwei Einsen angeschrieben. Dann (für ) werden wieder rechts und links zwei Einsen hinzugefügt und in der Lücke eine , als Summe des rechten und linken "Vordermanns" (jeweils eine ). In dem eingerahmten Kasten erkennt man noch einmal das Bildungsgesetz. Den gesuchten Binomialkoeffizienten findet man dann in der Reihe auf Position 3.