Zur Geschichte:

Schon in der Antike war einigen Mathematikern bekannt, dass es Zahlen gibt, die nicht als Bruch darstellbar sind. Sie zeigten das mit einem sogenannten indirekten Beweis:

Wäre z.B. die Diagonale eines Quadrats mit Seitenlängen eine rationale Zahl, also , dann gäbe es zwei natürliche Zahlen mit . Denken wir uns nun und in ihre Primfaktoren zerlegt, so steht auf der linken Seite eine gerade Anzahl dieser Faktoren, wegen des Quadrats tritt jeder Faktor nämlich doppelt auf. Auf der rechten Seite hingegen steht eine ungerade Anzahl, denn es kommt ja noch der Faktor 2 hinzu. Da die Zerlegung in Primfaktoren eindeutig ist, kann die Gleichung also nicht richtig sein.

Damit ist gezeigt, dass die Annahme, könne als Bruch dargestellt werden, zu einem Widerspruch führt, also falsch sein muß.

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