math formula ist irrational:

Dass diese so definierte Zahl math formula irrational ist, d.h. nicht als Quotient zweier ganzen Zahlen math formula und math formula dargestellt werden kann, sehen wir indirekt:

Falls math formula wäre mit ganzen Zahlen math formula und math formula, dann müßte math formula ganzzahlig sein:

Nach Definition ist aber

math formula.

Während der erste Term ganzzahlig ist, kann dies aber für den zweiten nicht zutreffen, denn

math formula,

abgeschätzt durch die geometrische Reihe mit math formula

math formula,

weil math formula sein sollte.

Folglich muß math formula irrational sein.

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