Differentiale:

Um mit dem wichtigen Begriff des Differentialquotienten noch vertrauter zu werden, wollen wir noch einen alternativen Zugang betrachten: den Begriff des Differentials. Es geschieht dabei nichts wesentlich Neues. Wir erhalten nur neue Einblicke in das Erreichte auch im Hinblick auf spätere Anwendungen und Erweiterungen, denn dieser Begriff kann leicht auf mehrere Dimensionen übertragen werden und wird erst dort seine ganze Kraft entfalten:

Wir vermeiden dabei bewußt den Grenzwert und schreiben den Differenzenquotienten als Gleichung: mit einem Rest , der von der Funktion , der Stelle und dem Intervall abhängt und mit verschwindet. Multiplizieren wir diesen Differenzenquotienten mit dem Zuwachs der Variablen , so erhalten wir

den "wahren Zuwachs" unserer Funktion bei : mit einem neuen Rest , der offensichlich noch stärker als mit verschwindet. Wenn wir von diesem Rest absehen können, erhalten wir so für den wahren Zuwachs der Funktion eine erste in lineare Näherung,

den "linearen Anteil des Zuwachses der Funktion" , der Differential genannt wird.

Speziell für die Funktion , die Winkelhalbierende, erhalten wir mit den linearen Anteil der linearen Funktion der unabhängigen Variablen: , der nicht notwendig infinitesimal sein muß und den wir oben einsetzen können, um mit der Lagrangeschen bzw. Leibnizschen Formulierung des Differentialquotienten zu erhalten:

Damit haben wir eine Gleichung, in der die Symbole und , die in der Leibnizschen Formulierung des Differentialquotienten zunächst nur als Quotient definiert waren, jetzt einzeln vorkommen und als "lineare Anteile des Zuwachses" auch als nichtinfinitesimale Größen definiert sind. Wegen dieser Möglichkeit ziehen wir die weitsichtige und suggestive Leibnizsche Schreibweise für den Differentialquotienten der Ihnen von der Schule her bekannten von Lagrange bei vielen Gelegenheiten vor.