Ehe wir uns mit der Existenzfrage beschäftigen, wollen wir uns den Fragen 2) und 3) zuwenden: Um Information über die möglichen Eigenschaften der gesuchten Entwicklung zu erhalten, wollen wir zunächst einmal annehmen, wir hätten schon eine Potenzreihe:
mit 
gefunden, die die betrachtete Funktion 
in einem Intervall z.B. für 
um den Nullpunkt herum darstellt. Da alle Funktionen unserer Grundausstattung unendlich oft differenzierbar sind, können wir die Ableitungen der Potenzreihe gliedweise der Reihe nach berechnen:
mit 
, also 
mit 
, also 
mit 
, also 
Allgemein:
mit 
, also 
.
Wir erhalten so die gesuchten Koeffizieneten 
aus den Ableitungen 
der darzustellenden Funktion an der Entwicklungsstelle 
. Falls also eine Potenzreihen-Darstellung unserer Funktion existiert, hat sie folgende Form und wir nennen sie:
|
TAYLOR-REIHE: |
Nach der angegebenen Konstruktion sind die Koeffizienten überdies eindeutig, so dass wir auch die Frage 3) beantwortet haben.
Unsere Überlegungen zeigen uns auch, dass die darzustellende Funktion notwendigerweise beliebig oft differenzierbar sein muß, wenn eine Taylor-Reihe existieren soll.
Dass diese notwendige Voraussetzung nicht hinreichend für die Existenz der Taylor-Reihe ist, sieht man aus folgendem Gegenbeispiel: Die unten abgebildete Funktion, 
für 
und 
, ist zwar überall unendlich oft differenzierbar, alle ihre Ableitungen 
verschwinden jedoch an der Stelle 
, so dass keine Taylor-Reihe um 
gebildet werden kann.
für 
. 
