Mit diesen wenigen Taylor-Reihen erhalten wir leicht eine große Zahl weiterer Entwicklungen, wenn wir berücksichtigen, was wir früher über das Rechnen mit Reihen gelernt haben. Als Beispiel für eine Linearkombination zweier Taylor-Reihen berechnen wir die Entwicklung des Sinus hyperbolicus:
Überraschenderweise ist das genau die Taylor-Reihe des trigonometrischen Sinus, nur ohne die Vorzeichenwechsel, was ein Licht auf die Namensgebung wirft.
Ein weiteres Beispiel zeigt, wie man die Taylor-Reihe des Produkts zweier Funktionen aus den Taylor-Reihen der Faktoren erhält, indem man die beiden Reihen einfach multipliziert und das Ergebnis nach Potenzen sortiert:
Auch bei verketteten Funktionen, bei denen man die Taylor-Reihen der inneren und äußeren Funktion kennt, ist es oft einfacher, diese ineinander einzusetzen, als die Differentialquotienten direkt zu berechnen: Etwa
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Aufgabe 6.5: Berechnen Sie die Taylor-Entwicklungen folgender Funktionen
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durch gliedweise Differentiation der geometrischen Reihe. 
durch Division der Reihen 
direkt durch Berechnung der Ableitungen 
ebenfalls direkt.