6 Taylor-Entwicklung

6.7 Güte der Konvergenz: Restglied

Nach den Ergebnissen aus den letzten Abschnitten bleibt nur noch die Frage 4) nach der Güte der Konvergenz: Auch wenn wir der Konvergenz der Reihe sicher sind, ist es natürlich nicht unwesentlich, wie groß der Fehler wird, wenn man statt der unendlichen Potenzreihe nur ein

verwendet. Anstatt das Restglied genau zu berechnen, wollen wir nur eine Formel angeben, die aus dieser Rechnung hervorgeht und dazu dienen kann, abzuschätzen, die sogenannte

Der Ausdruck setzt uns zunächst in Erstaunen, denn er hat die leicht einprägsame Form des (m+1)-ten Gliedes der Reihe, d.h. des ersten weggelassenen Terms, soll jedoch für die ganze Restreihe stehen. Dieser scheinbare Widerspruch wird dadurch aufgeklärt, dass die (m+1)-te Ableitung im Restglied nicht wie beim (m+1)-ten Glied der Reihe am Entwicklungspunkt zu nehmen ist, sondern an einer unbekannten Zwischenstelle zwischen dem Entwicklungspunkt und der interessierenden Stelle , ausgedrückt durch die unbekannte Zahl mit . Wegen dieser Unbekanntheit von läßt sich das Restglied im allgemeinen nicht ausrechnen, sondern nur

Aus dieser Abschätzungsformel sieht man, dass der Fehler klein wird mit der (m+1)-ten Potenz des Abstands der untersuchten Stelle vom Entwicklungspunkt , dass es also günstig ist, mit dem Entwicklungspunkt möglichst nahe an den interessierenden Punkt heranzugehen.

Als Beispiel wollen wir bis auf berechnen mit der in Abschnitt 6.4.2 gewonnen Taylor-Reihe um den Punkt

Wir erhalten: , wobei die Restgliedabschätzung mit ergibt:

Der exakte Wert ist und seine Differenz zum Näherungswert beträgt .