Berechnung eines Integrals nach der Definition:

Nach dieser komplizierten Definition des Grenzübergangs verlangt man natürlich als erstes ein Beispiel: Wir wollen dazu die Funktion math formula und das Intervall math formula wählen:
Der Einfachheit halber teilen wir das Intervall der Länge math formula durch math formula äquidistante Zwischenstellen math formula in math formula Intervalle der einheitlichen Länge math formula . Als Stützstellen in den Teilintervallen wählen wir die arithmetischen Mittelwerte math formula . Damit bilden wir die Riemann-Summen:

math formula


Die verbleibende letzte Summe macht etwas Mühe:

math formula math formula math formula

Denn die Summe der ersten math formula Zahlen math formula und die Summe der ersten math formula Quadrate math formula kennen wir aus Abschnitt 2.1 und math formula . Damit erhalten wir für die Folge der Riemann-Summen:

math formula


und in der Grenze math formula:

math formula


Die eigentlich noch erforderliche Überprüfung, ob das Resultat auch nicht von der Wahl der Zerlegung des Intervalls und von der Wahl der Stützstellen abhängt, schenken wir uns.

Dieses einfache Beispiel zeigt uns einerseits, dass die Definition tatsächlich zu dem erwarteten Ergebnis führt, andererseits aber auch, wieviel Mühe es schon bei einem so einfachen Beispiel kostet, nach der Definition ein derartiges Integral auszurechnen.

Wir werden uns also nach anderen Verfahren zur Berechnung von Integralen umsehen müssen, was im folgenden geschehen soll.

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