Als Erstes bemerken wir aufgrund unserer Kenntnisse über die Eigenschaften von Summen und die Grenzwerte von Folgen, dass das Integral linear ist, d.h. dass das Integral über eine Linearkombination von Funktionen gleich der entsprechenden Linearkombination der Integrale der einzelnen Funktionen ist: z.B. mit zwei Funktionen und
und reellen Konstanten
bzw.
:
Der Spezialfall heißt Additivität des Intergrals:
Ein anderer Spezialfall läuft unter der Bezeichnung Homogenität; wenn nämlich , folgt:
Speziell für bedeutet das:
Wenn also, wie vorausgesetzt, eine positive Funktion und
der Flächeninhalt "unter" der Funktion war, erfahren wir daraus, dass das Integral über die negative, d.h. an der x-Achse gespiegelten Funktion
genau
ergibt, d.h. einen negativen Flächeninhalt. Der an der x-Achse gespiegelte Flächeninhalt "über" der im vierten Quadranten verlaufenden Funktion
erhält beim Integral automatisch ein negatives Vorzeichen. Wir können also getrost auf unsere anfängliche Voraussetzung
verzichten, wenn wir das Integral als Flächeninhalt mit Vorzeichen deuten: positiv: "unter" einer Funktion über der x-Achse und negativ: "über" einer negativen Funktion unter der x-Achse.
Bild 7.4: Funktionen und
mit den gefärbten Integralflächen:
und
Wenn der Integrand im Integrationsintervall das Vorzeichen wechselt, muß das Intervall demnach in zwei Teile aufgeteilt werden, die getrennt berechnet und dann mit den entsprechenden Vorzeichen versehen von einander subtrahiert werden.