7 Integration

7.3 Eigenschaften des Riemann-Integrals

7.3.1 Linearität

Als Erstes bemerken wir aufgrund unserer Kenntnisse über die Eigenschaften von Summen und die Grenzwerte von Folgen, dass das Integral linear ist, d.h. dass das Integral über eine Linearkombination von Funktionen gleich der entsprechenden Linearkombination der Integrale der einzelnen Funktionen ist: z.B. mit zwei Funktionen math formula und math formula und reellen Konstanten math formula bzw. math formula:

Linearität: math formula


Der Spezialfall math formula heißt Additivität des Intergrals:

math formula


Ein anderer Spezialfall läuft unter der Bezeichnung Homogenität; wenn nämlich math formula , folgt:

math formula


Speziell für math formula bedeutet das:

math formula


Wenn math formula also, wie vorausgesetzt, eine positive Funktion und math formula der Flächeninhalt "unter" der Funktion war, erfahren wir daraus, dass das Integral über die negative, d.h. an der x-Achse gespiegelten Funktion math formula genau math formula ergibt, d.h. einen negativen Flächeninhalt. Der an der x-Achse gespiegelte Flächeninhalt "über" der im vierten Quadranten verlaufenden Funktion math formula erhält beim Integral automatisch ein negatives Vorzeichen. Wir können also getrost auf unsere anfängliche Voraussetzung math formula verzichten, wenn wir das Integral als Flächeninhalt mit Vorzeichen deuten: positiv: "unter" einer Funktion über der x-Achse und negativ: "über" einer negativen Funktion unter der x-Achse.

math formula
Bild 7.4: Funktionen math formula und math formula mit den gefärbten Integralflächen: math formula und math formula

Wenn der Integrand im Integrationsintervall das Vorzeichen wechselt, muß das Intervall demnach in zwei Teile aufgeteilt werden, die getrennt berechnet und dann mit den entsprechenden Vorzeichen versehen von einander subtrahiert werden.